I knutteorin är en Brunnian-länk en icke-trivial länk som faller isär när någon komponent tas bort. Med andra ord, skärning av valfri (topologisk) ring kopplar bort alla andra ringar (därav är inga två av ringarna länkade, som i Hopf-länken ).
Namnet brunnovo ges för att hedra Hermann Brunn , som i en artikel från 1892 om Über Verkettung gav exempel på sådana redskap.
Den mest kända och enklaste brunniska länken är de borromeiska ringarna , länken mellan tre ringar. Men för vilket nummer som helst, från tre, finns det ett oändligt antal Brunnian-länkar som innehåller ett sådant antal ringar. Det finns flera relativt enkla trekomponentslänkar som inte är likvärdiga med borromeiska ringar:
Länk med 12 korsningar.
Länk med 18 korsningar.
Länk med 24 korsningar.
Den enklaste brunniska länken förutom de borromeiska ringarna (med 6 skärningar) verkar vara länken L10a140 med 10 skärningar [1] .
Ett exempel på en n -komponent Brunnian länk är den Brunnian "gummi ring" länken , där varje komponent omsluter den föregående i schemat aba −1 b −1 och den sista ringen är länkad till den första och bildar en cykel .
Brunniska länkar beskrivs fram till homotopi av John Milnor i en tidning från 1954 [2] , och de invarianter som han introducerade kallas nu Milnor-invarianter
En ( n + 1)-komponentlänk kan förstås som ett element i länkgruppen n olänkade komponenter (länkgruppen i detta fall är den fundamentala komplementgruppen för länken ). Länkgruppen med n olänkade komponenter är en fri produkt av n generatorer, det vill säga en fri grupp Fn .
Inte varje element i gruppen F n genererar en brunnisk länk. Milnor visade att den grupp av element som motsvarar brunniska länkar är relaterad till den graderade Lie-algebra i den nedre centrala serien av den fria gruppen, och kan förstås som "relationer" i den fria Lie-algebra .
Brunniska länkar kan förstås i termer av Massey-produkter : en Massey-produkt är en n -term produkt som bara definieras om alla ( n − 1)-term produkter försvinner. Detta motsvarar den brunniska länkegenskapen, där alla uppsättningar av ( n − 1) komponenter inte är länkade, utan alla n komponenter tillsammans bildar en icke-trivial länk.
En Brunnian fläta är en fläta som blir trivial när någon av dess trådar tas bort. Brunniska flätor bildar en undergrupp i flätgruppen . Brunniska flätor på en sfär som inte är brunniska på en (plat) skiva ger icke-triviala element i sfärens homotopigrupper. Till exempel ger "standard" flätan som motsvarar de borromeiska ringarna en Hopf-fibrering S 3 → S 2 , och fortsättningen av en sådan väv ger också en brunnsk fläta.
Många disentanglement pussel och några mekaniska pussel är varianter av Brunnian länkar, och deras mål är att frigöra något element som delvis är kopplat till resten av pusslet.
Brunn-kedjor används för att skapa dekorativa smycken av gummiringar med hjälp av enheter som Wonder Loom (eller dess Rainbow Loom-variant).