Spetsförlovning
I knutteorin är en spetslänk (eller kringelänk ) en speciell typ av länk . En spetskrok som också är en knut (d.v.s. en enkomponentkrok) kallas spetsknut , kringelknut eller helt enkelt kringla .
I standardprojektionen har spetsingreppet [1] vänstervridningar i den första väven [2] , i den andra och i allmänhet i den n :e .
En spetslänk kan beskrivas som en Montezinos-länk med ett heltal av vävar.
Några grundläggande resultat
En spetslänk är en knut om och bara om och , och alla är udda eller exakt ett av talen är jämnt [3] .
En spetslänk är reducerbar om minst två är lika med noll. Det omvända är dock inte sant.
Lacy engagemang är en återspegling av spets engagemang .
En spetslänk är ekvivalent (det vill säga homotopiskt ekvivalent på S3 ) med en spetslänk . Då är också en spetslänk likvärdig med en spetslänk [3] .
Lacy engagemang är likvärdigt med spets engagemang . Men om vi orienterar länken i kanonisk form, har dessa två länkar motsatta orienteringar.
Exempel
Spetsknuten (1, 1, 1) är den (högerhänta) shamrocken , och knuten (−1, −1, −1) är dess spegelbild.
Spetsknuten (5, −1, −1) är stuverknuten (6 1 ).
Om p , q och r är distinkta udda tal större än 1 är spetsknuten ( p , q , r ) irreversibel .
En spetslänk (2 p , 2 q , 2 r ) är en länk som bildas av tre sammankopplade triviala knutar .
Spetsknuten (−3, 0, −3) ( rak knut ) är den sammankopplade summan av två shamrocks .
En spetslänk (0, q , 0)) är en reducerbar länk av en trivial knut med en annan knut.
Montesinos-länken
En Montesinos-länk är en speciell typ av länk som generaliserar spetslänkar (en spetslänk kan betraktas som en Montesinoslänk med heltalsväv). En Montesinos-länk som också är en knut (det vill säga en länk med en komponent) är en Montesinos-knut .
Montesinos-länken består av flera rationella härvor . En av beteckningarna för Montesinos-länken är [4] .
I denna notation är alla och heltal. En Montesinos-länk som ges av denna notation består av summan rationella härvor som ges av heltal , och rationella härvor
Användning
Lacy länkar (−2, 3, 2 n + 1) är särskilt användbara när man studerar 3-grenrör . I synnerhet för dessa grenrör har många resultat fastställts baserat på Dehns operation på spetsknuten (−2,3,7) .
Den hyperboliska volymen av komplementet till spetslänken (−2,3,8) är lika med fyra gånger katalanska konstant , ungefär 3,66 . Denna spetslänk är en av två dubbelknutiga hyperboliska grenrör med minsta möjliga volymer, det andra grenröret är komplementet till 2010 års Whitehead-länk .
Anteckningar
- ↑ Använde Conway-notation för knutar, med parenteser tillagda för bekvämlighet.
- ↑ Istället för att "väva" säger de också "trassel" eller "bunt".
- ↑ 12 Kawauchi , 1996 .
- ↑ Zieschang, 1984 , sid. 378–389.
Litteratur
- Ian Agol . De minimala volymorienterbara hyperboliska 2-kusade 3-grenrören // Proceedings of the American Mathematical Society . - 2010. - T. 138 , nr. 10 . - doi : 10.1090/S0002-9939-10-10364-5 .
Läsning för vidare läsning
- Hale F. Trotter. topologi. - Pergamon Press, 1963. - V. 2. - S. 272-280.
- Akio Kawauchi. En undersökning av knutteorin. - Birkhäuser, 1996. - ISBN 3-7643-5124-1 .
- Heiner Zieschang. Klassificering av Montesinos knutar // Topologi / A. Dold, B. Eckmann/Ludwig D. Faddeev, Arkadii A. Mal'cev. Allmän och algebraisk topologi och tillämpningar. Proceeding of the International Topological Conference som hölls i Leningrad, 23-27 augusti 1982. - Berlin Heidelberg: Springer, 1984. - Vol 1060. - (Lecture Notes in Mathematics/USSR). — ISBN 3-540-13337-2 . — ISBN 0-387-13337-2 .