Hopplänk

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 4 december 2019; verifiering kräver 1 redigering .

Hopf-länken  är den enklaste icke-triviala länken med två eller flera komponenter [1] , består av två cirklar länkade en gång [2] och är uppkallad efter Heinz Hopf [3] .

Geometrisk representation

Den specifika modellen består av två enhetscirklar i vinkelräta plan, så att var och en passerar genom mitten av den andra [2] . Denna modell minimerar längden på repet (längden på repet är en invariant av knutteorin) för länken, och fram till 2002 var Hopf-länken den enda för vilken längden på repet var känd [4] . Det konvexa skrovet av dessa två cirklar bildar en kropp som kallas en oloid [5] .

Egenskaper

Beroende på den relativa orienteringen för de två komponenterna är Hopf -länkskoefficienten ±1 [6] .

Hopf-länken är en (2,2) -torisk länk [7] med ett beskrivande ord [8] .

Komplementet Hopf-länken är, en cylinder över en torus [9] . Detta utrymme har en lokalt euklidisk geometri , så Hopf-länken är inte hyperbolisk . Hopf- länkknutgruppen ( den grundläggande gruppen av dess komplement) är( en fri Abelisk grupp på två generatorer) och den skiljer Hopf-länken från två icke-länkade cirklar, som motsvarar den fria gruppen på två generatorer [10] .

Hopf-länken kan inte vara trefärgad . Detta följer direkt av det faktum att en länk kan färgas med endast två färger, vilket strider mot den andra delen av definitionen av färgning. Varje korsning kommer att ha maximalt 2 färger, så vid färgläggning kommer vi att bryta mot kravet på att ha 1 eller 3 färger i varje korsning, eller så bryter vi mot kravet på att ha mer än 1 färg.

Hopf bunt

Hopf-bunten  är en kontinuerlig mappning från en 3-sfär (en tredimensionell yta i en fyrdimensionell euklidisk rymd ) till den mer välbekanta 2-sfären , så att den omvända bilden av varje punkt på 2-sfären är en cirkel. Således erhålls en nedbrytning av 3-sfären till en kontinuerlig familj av cirklar, och varannan olika cirklar från denna familj bildar en Hopf-länk. Detta faktum fick Hopf att studera Hopf-länkar - eftersom två olika lager är länkade är Hopf-paketet ett icke-trivialt paket . Detta var början på studiet av homotopigrupper av sfärer [11] .

Historik

Länken är uppkallad efter topologen Heinz Hopf , som studerade den 1931 i sitt arbete om Hopf-fibrationen [12] . En sådan länk användes dock av Gauss [3] , och utanför matematiken möttes den långt innan, till exempel som emblem för den japanska buddhistiska sekten Buzan-ha , som grundades på 1500-talet.

Se även

Anteckningar

  1. ↑ Adams, 2004 , sid. 151.
  2. ↑ 1 2 Kusner och Sullivan 1998 , sid. 67–78.
  3. ↑ 1 2 Prasolov, Sosinsky, 1997 , sid. 12.
  4. ↑ Cantarella, Kusner, Sullivan, 2002 , sid. 257–286.
  5. ↑ Dirnböck, Stachel, 1997 , sid. 105–118.
  6. ↑ Adams, 2004 .
  7. ↑ Kauffman, 1987 , sid. 373.
  8. ↑ Adams, 2004 , sid. 133, övning 5.22.
  9. ↑ Turaev, 2010 , sid. 194.
  10. ↑ Hatcher, 2002 , sid. 24.
  11. ↑ Shastri, 2013 , sid. 368.
  12. ↑ Hopf, 1931 , sid. 637–665.

Litteratur

Länkar