Polynom HOMFLY

HOMFLY-polynomet är en länkinvariant i form av ett tvåvariabelt polynom .

Det är en av de mest känsliga länkinvarianterna. I synnerhet uttrycks Jones och Alexander polynomen i termer av HOMFLY genom substitutioner. Samtidigt beräknas HOMFLY enklare än ovanstående polynom.

Namnet HOMFLY kombinerar initialerna för dess författare: Jim Host, Adrian Okneanu, Kenneth Millett, Peter J. Freud, W.B.R. Licorish och David N. Yetter. [1] Polynomet kallas ibland för HOMFLY-PT eftersom det också självständigt upptäcktes av Józef H. Przytický och Pavel Traczyk. [2]

Definition

HOMFLY-länken är ett polynom av två variabler m och l och definieras av härstrelationen :

P({\text{trivial knut)))=1,

\ell P(L_{+})+\ell ^{-1}P(L_{-})+mP(L_{0})=0,\,

där är länkar bildade av perestrojkor vid en skärningspunkt i diagrammet, som visas i figuren. $L_{+},L_{-},L_{0}$

HOMFLY-polynomet för länken L , som är den separerade föreningen av två länkar och , ges av $L_{1}$ $L_{2}$

P(L)={\frac {-(\ell +\ell ^{-1})}{m}}P(L_{1})P(L_{2}).

Egenskaper

HOMFLY är multiplikativ med avseende på den sammankopplade summan av knop : $P(L_{1}\#L_{2})=P(L_{1})\cdot P(L_{2}).$

Om är en återspegling av länken , alltså $K'$ $K$ $P_{K}(\ell ,m)=P_{K'}(\ell ^{-1},m),$ .
- I synnerhet kan HOMFLY-polynomet användas för att skilja mellan två knutar med olika kiralitet . Det finns dock kirala knoppar som delar samma HOMFLY-polynom, såsom knop 9 42 och 10 71 [3]

Anteckningar

↑ Freyd, P., Yetter, D., Hoste, J., Lickorish, WBR, Millett, K. och Ocneanu, A. (1985). "En ny polynominvariant av knutar och länkar". Bulletin från American Mathematical Society . 12 (2): 239-246. DOI : 10.1090/S0273-0979-1985-15361-3 .
↑ Józef H. Przytycki, .Paweł Traczyk (1987). "Invarianter av länkar av Conway-typ" (PDF) . Kobe J Math . 4 : 115-139. Arkiverad (PDF) från originalet 2022-03-13 . Hämtad 2022-07-10 . Utfasad parameter används |deadlink=( hjälp )
↑ Ramadevi, P. (1994). "Chirality of Knots 9 42 och 10 71 och Chern—Simons Theory." Modern fysik Bokstäver A. 09 (34): 3205-3217. arXiv : hep-th/9401095 . DOI : 10.1142/S0217732394003026 .

Litteratur

Prasolov V. V. , Sosinsky A. B. Knutar, länkar, flätor och tredimensionella grenrör . - M .: MTSNMO , 1997. - ISBN 5-900916-10-3 .