Seifert yta
Inom matematiken är en Seifertyta en yta vars gräns är en given knut eller länk . Sådana ytor är ofta användbara vid studiet av motsvarande knut eller länk. I synnerhet är många knutinvarianter enklast att beräkna med den. Seifertytor är intressanta i sig som studieobjekt. Uppkallad efter Herbert Seifert .
Definition
Låt vara en tam orienterad knut eller länk i 3D-rymden (eller på en 3D-sfär). En Seifert-yta är en kompakt sammankopplad orienterad yta inbäddad i tredimensionellt utrymme på ett sådant sätt att dess gräns är , och orienteringen på ytan inducerar den ursprungliga orienteringen på .
Vi betonar att Seifert-ytan måste vara orienterad.
Exempel
- Varje kompakt sammankopplad orienterad yta med en icke-tom gräns i tredimensionellt utrymme är en Seifert-yta av dess gräns.
- Standard Möbius-remsan har den triviala knuten som sin gräns , men är inte dess Seifert-yta, eftersom Möbius-remsan är icke-orienterbar.
Typ av nod
Seifertytan för en given knut eller länk är inte unikt definierad: samma knut (eller länk) kan ha flera olika Seifert-ytor, det minsta möjliga släktet av en sådan yta kallas knutens släkte , är dess invariant, och är betecknas med .
Till exempel:
- Släktet för en trivial knut är 0 (eftersom det är gränsen för skivan); omvänt, om släktet för en knut är noll, då är knuten trivial.
- Shamrock , liksom siffran åtta , har kön 1.
- Släktet av en torisk knut av typen är lika med .
- Graden av Alexanderpolynomet är en nedre gräns för två gånger knutens släkte.
Den grundläggande egenskapen för ett släkte är dess additivitet med avseende på en sammankopplad summa av noder:
Länkar
- SeifertView-programmet Arkiverat 26 maj 2010 på Wayback Machine - konstruerar Seifert-ytor för olika knutar.