Conway-notation är ett sätt att beskriva knutar , vilket gör många egenskaper hos knutar uppenbara. Notationen visar strukturen av knuten, bygga den med hjälp av några operationer på vävar . Notationen utvecklades av John Horton Conway .
Vävning (även ett gäng eller härva, härva) [1] - ett föremål som består av flera trådar, på något sätt beläget i ett begränsat område av utrymme, med ändar på gränsen till detta område; som en knut kan vävning representeras som ett diagram på ett plan. Conways notation använder algebraiska 2-vävningar. En 2-väv består av två bågar som går till de 4 ändarna av dess diagram. "Algebraisk" betyder att de är byggda med hjälp av operationer från en specifik uppsättning, som beskrivs nedan.
De enklaste algebraiska tovorna är heltal som består av flera på varandra följande identiska skärningspunkter. Heltalsvävningar betecknas med ett enda heltal som indikerar antalet skärningar; numrets tecken beror på typen av dessa korsningar. Om bågarna inte skär varandra, eller kan konverteras till icke-korsande bågar med hjälp av Reidemeister-rörelser , betecknas väven 0 eller ∞, beroende på dess orientering.
Om väven a speglas med avseende på den raka nordväst/sydost, betecknas den resulterande nya väven −a ( observera att detta skiljer sig från väven med inverterade skärningar). Vävningar har tre binära operationer : summa , produkt och förgrening (förgrening) [2] , men alla kan uttryckas genom additions- och subtraktionsoperationer. Tangleprodukten ab är ekvivalent med − a+b , och förgreningen a,b är ekvivalent med − a+ − b .
Flera hela vävar, förenade genom förgrening, skapar ett spetsingrepp när de yttre ändarna stängs .
En baspolytop i sammanhanget med Conway-notation är en plan graf utan slingor eller flera kanter, där varje vertex har grad 4 (det enda undantaget är baspolytopen, kallad 1 * , som är den enda vertexen med två slingor). En knut eller länk erhålls genom att ersätta algebraiska tovor i hörnen på grundläggande polyedrar. Således kan man få alla knutar och länkar upp till ett givet antal skärningar genom att betrakta grundläggande polytoper med ett tillräckligt antal hörn och algebraiska härvor med ett tillräckligt antal skärningar. Det finns relativt få grundläggande polytoper med ett litet antal hörn: till exempel, av grundläggande polytoper med upp till 10 hörn, förutom 1 * , finns det bara 1 polytop med 6, 8 och 9 hörn, och 3 med 10 hörn (sekvens A078666 i OEIS ).
Conways notation kräver att numreringen av hörnen för alla inblandade baspolytoper och sättet på vilket vävarna infogas i dessa hörn specificeras. Sedan består beteckningen av en knut eller länk av beteckningen på baspolyedern, följt av beteckningarna för de algebraiska tovorna som infogas vid dess hörn, till exempel: "8 * 2.1.3.4.1.1.5.1". Conway utvecklade ett system med förkortningar för denna post, med hänsyn till att det givna exemplet blir "8 * 2:3.4:.5".
Conways notation är tvetydig i den meningen att det ibland är möjligt att avbilda en knut eller länk som två olika diagram, som var och en har ett minsta antal korsningar, men samtidigt skrivna i Conways notation även med olika grundläggande polyedrar [3] .