Knutpolynom

I knutteorin är ett knutpolynom en knutinvariant i form av ett polynom vars koefficienter kodar för vissa egenskaper hos en given knut .

Historik

Det första knutpolynomet, Alexanderpolynomet , introducerades av James Alexander 1923 , men andra knutpolynom hittades inte förrän nästan 60 år senare.

På 1960 -talet föreslog John Conway härstrelationer för en version av Alexanderpolynomet, vanligtvis kallat Alexander-Conway-polynomet . Vikten av nystan relationer uppskattades inte förrän på 1980-talet, när Vaughn Jones upptäckte Jones polynom . Denna upptäckt ledde till upptäckten av flera fler polynom, såsom HOMFLY-polynomet .

Kort efter Jones upptäckt, märkte Louis Kaufman att Jones polynom kunde beräknas i termer av en summa-av-tillstånd modell som använder Kaufman parentes , en invariant av knutar . Detta banade väg för forskning inom området knutlänksteori och statistisk mekanik .

I slutet av 1980-talet gjordes två genombrott: Edward Witten visade att Jones polynom och liknande invarianter av denna typ beskrivs i Chern-Simons teori ; Viktor Vasiliev och Mikhail Gusarov skapade teorin om invarianter av ändlig typ av knop. Det är känt att koefficienterna för de nämnda polynomen är av finit typ (kanske efter någon "substitution av variabler").

År 2003 visas Alexanderpolynomet vara relaterat till Floer-homologin . Den graderade Euler -homologin som är karakteristisk för Hegaard-Floer Ozwat och Szabo är ett Alexanderpolynom [1] .

Exempel

Alexander-Briggs inträde	Alexanderpolynom $\Delta(t)$	Conway polynom $\nabla (z)$	Jones polynom $V(q)$	Polynom HOMFLY $H(a,z)$
$0_{1}$ ( Trivial Knot )	$ett$	$ett$	$ett$	$ett$
$3_{1}$ ( Shamrock )	$t-1+t^{{-1}}$	$z^{2}+1$	$q^{{-1}}+q^{{-3}}-q^{{-4}}$	$-a^{{4}}+a^{{2}}z^{{2}}+2a^{{2}}$
$4_{1}$ ( Åtta )	$-t+3-t^{{-1}}$	$-z^{2}+1$	$q^{2}-q+1-q^{{-1}}+q^{{-2}}$	$a^{{2}}+a^{{-2}}-z^{{2}}-1$
$5_{1}$ ( Cinquefoil )	$t^{2}-t+1-t^{{-1}}+t^{{-2}}$	$z^{4}+3z^{2}+1$	$q^{{-2}}+q^{{-4}}-q^{{-5}}+q^{{-6}}-q^{{-7}}$	$-a^{{6}}z^{{2}}-2a^{{6}}+a^{{4}}z^{{4}}+4a^{{4}}z^{{ 2}}+3a^{{4}}$
$-$ ( Babyknut )	$\left(t-1+t^{{-1}}\höger)^{2}$	$\left(z^{2}+1\höger)^{2}$	$\left(q^{{-1}}+q^{{-3}}-q^{{-4}}\höger)^{2}$	$\left(-a^{{4}}+a^{{2}}z^{{2}}+2a^{{2}}\right)^{2}$
$-$ ( Rak knut )	$\left(t-1+t^{{-1}}\höger)^{2}$	$\left(z^{2}+1\höger)^{2}$	$\left(q^{{-1}}+q^{{-3}}-q^{{-4}}\right)\left(q+q^{{3}}-q^{{4 }}\höger)$	$\left(-a^{{4}}+a^{{2}}z^{{2}}+2a^{{2}}\right)\gånger$ $\left(-a^{{-4}}+a^{{-2}}z^{{-2}}+2a^{{-2}}\höger)$

Alexander-Briggs-notationen är en notation som listar noder efter deras skärningsnummer, vanligtvis förutsatt att endast enkla noder finns i listan (Se List of Simple Knots ).

Observera att Alexanderpolynomet och Conwaypolynomet INTE KAN skilja mellan vänster och höger shamrocks .

Vänster shamrock.
Rätt shamrock.

De skiljer inte heller mellan en kvinnas knut och en direkt knut, eftersom sammansättningen av knutar i ger produkten av knutpolynom. $\mathbb {R} ^{3}$

Se även

Knutpolynom

Relaterade ämnen

Skånsk relation för den formella definitionen av Alexanderpolynomet.

Anteckningar

↑ Ozsváth, Szabó, 2003 , sid. 225-254.

Litteratur

Collin Adams. Knutboken. — American Mathematical Society. - ISBN 0-8050-7380-9 .
WBR Lickorish. Introduktion till knutteori. - New York: Springer-Verlag, 1997. - V. 175. - (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 0-387-98254-X .
Peter S. Ozsváth, Zoltán Szabó. Heegaard Floer homologi och alternerande knutar // Geom. Topol. - 2003. - Utgåva. 7 .

Teori om knutar och länkar
Hyperbolisk	Åtta (4 1 ) Tre halva varv (5 2 ) Stevedoring (6 1 ) 6 2 6 3 74 _ Mat Carrick (8 18 ) Par percos (10 161 ) Spets (−2,3,7) (12n242) Whitehead (52 1) Borromeanska ringar (63 2) L10a140
satellit	Sammansättning ( babiy ) hetero Summan av knop
torisk	Trivialt (0 1 ) Shamrock (3 1 ) Potentilla (5 1 ) Seven-leaf (7 1 ) Olänkad (02 1) Hopp (22 1) Salomo (42 1)
Invarianter	alternerande Arfa invariant Antal broar ( 2-broar ) Brunnisk länk Chiralitet ( reversibel ) Antal filmer Antal korsningar Vasiliev invariant Hyperbolisk volym Khovanovs homologi Släkte Nodgrupp Kugghjulsgrupp Utväxling Polynom ( Alexander Kauffman fäste HEMLIGT Jones Kaufman ) Spetsförlovning Enkel knut ( lista ) Antal segment Antal trefärgade färger Antalet och uppgiften att avbinda
Notation och operationer	Alexander–Briggs notation Conway notation Docker notation Mutation Reidemeisterrörelsen Skene förhållande
Övrig	Alexanders teorem Berge knut fläta teori Conway sfär Nodslutförande Dubbel torusknut Skiktad knut Tejp Skära Summan av knop Tates hypoteser Vriden Vild Twist nummer Seifert yta