Trefärgad färg
I knutteorin är tricolorability av en knut förmågan att färga en knut med tre färger, enligt vissa regler. Colorizability i tre färger är en isotopisk invariant , och därför kan denna egenskap användas för att skilja mellan två ( icke-isotop ) noder. I synnerhet, eftersom en trivial knut inte är trefärgad, kommer varje färgbar knut att vara icke-trivial.
Färgregler
En knut är färgbar om varje tråd i knutdiagrammet kan färgas med en av tre färger enligt följande regler: [1]
1. Minst två färger måste användas 2. Vid varje korsning måste tre trådar antingen vara av samma färg eller alla av olika färg (tråden överst vid korsningen ändrar inte färg, och tråden på undersidan anses vara två olika trådar).Anteckningar
- Vissa källor kräver att alla tre färgerna används [2] . För knutar motsvarar detta definitionen ovan, men för länkar är det inte det.
Exempel
Ett exempel på nodfärgning enligt ovanstående regler. Vanligtvis används röda, gröna och blå färger för färgning.
Trefoilen och den triviala 2-länken är trefärgade, men den triviala knuten, Whitehead-länken och åttafiguren är det inte.
Ett exempel på en trefärgad nod
Babi-knuten kan målas i tre färger. I denna färgning har de tre trådarna vid varje korsning tre olika färger. En knut består av två shamrocks, och färga en av de två (men inte båda) shamrocks helt röd ger också en giltig färg. "Sann vänskap"-knuten är också trefärgad [3]
Ett exempel på en icke-tricolorable nod
Åttasiffran kan inte målas i tre färger. I det visade diagrammet har knuten fyra trådar, av vilka vilket par som helst möts vid någon skärningspunkt. Om tre av trådarna har samma färg, måste den fjärde tråden också ha samma färg. Annars måste var och en av dessa fyra trådar ha olika färger. Eftersom tricolorability är en invariant av en knut, kan ingen av diagrammen för denna knut vara trefärgad.
Egenskaper
- Om projektionen av en knut är trefärgad, så flyttar Reidemeister på knuten för att bevara färgbarheten, så antingen är alla projektioner av knuten trefärgbara, eller så är ingen projektion färgbar" [1] . Med andra ord, tricolorability är en isotopinvariant , en egenskap hos en knut eller länk som förblir oförändrad för någon omgivande isotopi .
- Detta kan bevisas om man överväger Reidemeister-drag . Eftersom varje Reidemeister-rörelse kan utföras utan att ändra färgbarhetsegenskapen är denna egenskap en isotopinvariant.
| Reidemeister jag flyttar ändrar inte färgbarheten. | Reidemeister II-rörelsen ändrar inte färgbarheten. | Reidemeister III-rörelsen ändrar inte färgbarheten. |
|---|---|---|
- Eftersom trefärgningen är en binär klassificering (oavsett om länken är färgbar eller inte), är detta en relativt svag invariant. Summan av en färgbar nod med en annan nod är alltid färgbar.
- Sättet att stärka denna invariant är att räkna antalet möjliga färgningar i tre färger. I det här fallet släpper vi regeln att minst två färger används, och nu har vilken länk som helst minst tre färger (färg bara alla bågar med samma färg). Nu anses en länk vara 3-färgbar om den har fler än 3 olika färger.
- Varje separerbar länk med en färgbar separerbar komponent är också trefärgsbar.
- Om en torusknut eller länk , kan färgas i tre färger, så gäller detsamma för och för alla naturliga tal och .
Se även
- Fox's n-coloring
- Färglägga grafer
Anteckningar
- ↑ 1 2 Weisstein, 2010 , sid. 3045.
- ↑ Gilbert och Porter 1994 , sid. åtta.
- ↑ Mladen Bestvina (februari 2003). " Knots: a handout for mathcircles Arkiverad 4 mars 2016 på Wayback Machine ", Math.Utah.edu .
Litteratur
- Eric W. Weisstein. CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. - Andra upplagan. — Boca Raton, London, New York. Washington DC: Chapman & Hall/CRC, 2010. - ISBN 9781420035223 .
- ND Gilbert, T. Porter. Knutar och ytor. - Oxford, New York, Tokyo: Oxford University Press, 1994. - ISBN 0-19-853397-7 .
Länkar
- Weisstein, Eric W. Three-Colorable Knot (engelska) på Wolfram MathWorld -webbplatsen . Åtkomst: 5 maj 2013.