Chern-Simons-teorin är en tredimensionell topologisk kvantfältteori av Schwartz-typ föreslagen av Edward Witten . Uppkallad efter geometrarna Zhen Xingshen (Chern) och James Simons . Teorin heter så eftersom dess effekt är proportionell mot Chern-Simons-formen.
I den kondenserade materiens fysik beskriver Chern-Simons-teorin den topologiska ordningen i tillstånden för den fraktionerade kvanthalleffekten . Ur en matematisk synvinkel är Chern-Simons-teorin intressant eftersom den låter dig beräkna knutinvarianter , som Jones-polynomet .
Chern-Simons-teorin bestäms av valet av en enkel Lie-grupp G, kallad teorins mätgrupp, och ett tal k, som går in i handlingen som en faktor och kallas teorins nivå . Teorins verkan beror på valet av mätare, men kvantfältteorins genererande funktion bestäms unikt för ett heltalsvärde på nivån.
Chern-Simons-teorin kan definieras på ett godtyckligt topologiskt 3-manifold M med eller utan en gräns. Eftersom denna teori är av Schwartz-typ, finns det inget behov av att införa ett mått på M .
Chern-Simons-teorin är en gauge-teori, det vill säga de klassiska fältkonfigurationerna i en teori på M med en gauge-grupp G beskrivs av en principiell G - bunt över M . Den sammankopplade formen av det huvudsakliga G -knippet över M betecknas med ; det tar värden i Lie-algebra g . I det allmänna fallet bestäms anslutningen A på separata kartor, värdena för A på olika kartor är relaterade till mättransformationer. Gauge-transformationer kännetecknas av det faktum att den kovarianta derivatan transformeras i den adjoint representationen av G .
Sedan skrivs handlingen som:
Låt oss introducera anslutningens krökning
Sedan tar rörelseekvationen formen
Lösningarna är platta anslutningar, som definieras av holonomi kring icke-kontrakterbara cykler på M . Platta anslutningar är i en-till-en-överensstämmelse med ekvivalensklasserna av homomorfismer från den fundamentala gruppen M till gauge-gruppen G .
Även om åtgärden beror på mätaren, är den genererande funktionen i kvantteorin väldefinierad för heltal k .
Om M har en gräns , så finns det ytterligare data som beskriver valet att trivialisera det huvudsakliga G - paketet på N. Ett sådant val definierar en mappning från N till G. Dynamiken i denna kartläggning beskrivs av WZW-modellen på N med nivå k .
Tänk på spåromvandlingen av Chern-Simons-aktionen. Under spårviddstransformationen g transformeras kopplingsformen A som
För Chern-Simons-aktionen har vi
Här
var är Maurer-Cartan-formen.
Vi får tillägget till handlingen definierad på gränsen. Hon ser ut som en medlem av Vess-Zumino . Från kravet på mätinvarians för kvantkorrelatorer får vi kvantiseringen k , eftersom den funktionella integralen måste bestämmas unikt.
I den kanoniska kvantiseringen av Chern-Simons-teorin definieras ett tillstånd på varje tvådimensionell yta . Som i vilken kvantfältteori som helst, motsvarar tillstånd strålar i Hilberts rymd. Eftersom vi har att göra med en topologisk fältteori av Schwartz-typ, har vi inte en förutbestämd tilldelad tid, därför en godtycklig Cauchy-yta.
Kodimensionen är lika med 1, så vi kan skära längs och få ett grenrör med en gräns, på vilken den klassiska dynamiken beskrivs av Wess-Zumino-Novikov-Witten-modellen. Witten visade att denna korrespondens också finns bevarad inom kvantmekaniken. Det vill säga, Hilbert-tillståndsrymden är alltid finitdimensionell och kan identifieras med utrymmet av konforma block av -WZW-modellen med nivå . Konforma block är lokalt holomorfa och antiholomorfa faktorer vars produkter summerar till korrelationsfunktionerna hos en tvådimensionell konform fältteori.
Till exempel, om , då är Hilbert-utrymmet endimensionellt och det finns bara ett tillstånd. När tillstånden motsvarar integrerbara representationer av nivån på en affin förlängning av Lie-algebra . Hänsyn till ytor av högre slag krävs inte för att lösa Chern-Simons teori.
Observerbara i Chern-Simons teorin är punktfunktioner hos mätinvarianta operatorer, oftast betraktade som Wilson -loopar . Wilson-slingan är holonomi runt ringen i , beräknad i någon representation av gruppen . Eftersom vi kommer att överväga produkterna från Wilson-slingor, kan vi betrakta representationerna som irreducerbara.
Här är 1-formen av anslutningen, vi tar det huvudsakliga värdet av Cauchy-integralen, är exponenten ordnad längs vägen.
Tänk på en länk i , som är en uppsättning frånkopplade cykler. Av särskilt intresse är -punktkorrelationsfunktionen, som är produkten av Wilsons loopar i den fundamentala representationen kring dessa cykler. Denna korrelationsfunktion kan normaliseras genom att dividera den med en 0-punktsfunktion (statistisk summa ).
Om är en sfär, då är sådana normaliserade funktioner proportionella mot de kända polynomen (invarianter) av knutarna. Till exempel, vid , ger Chern-Simons teorin med nivå
Vid blir HOMFLY-polynomet Jones-polynomet . I fallet erhålls Kauffman-polynomet .