Hopp bunt

Hopf-fibrationen är ett exempel på en lokalt trivial fibrering av en tredimensionell sfär över en tvådimensionell med en lagercirkel:

S^{1}\hookrightarrow S^{3}{\xrightarrow {\p\,}}S^{2}

Hopf-bunten är inte trivial. Det är också ett viktigt exempel på ett huvudpaket .

Ett av de enklaste sätten att definiera denna bunt är att representera 3-sfären som enhetssfären i , och 2-sfären som den komplexa projektiva linjen . Sedan visas displayen: $S^{3}$ $\mathbb {C} ^{2}$ $S^{2}$ $\mathbb {C} P^{1}$

p:(z_{1},z_{2})\mapsto (z_{1}:z_{2})

och definierar Hopf-bunten. I det här fallet kommer fibrerna i bunten att vara banorna för gruppens fria verkan : $S^{1}$

\theta :(z_{1},z_{2})\mapsto (\theta z_{1},\theta z_{2})

där cirkeln representeras som en uppsättning enhetsmodulokomplexa tal:

{\displaystyle S^{1}=\{\theta \mid \theta \in \mathbb {C} ,\,|\theta |=1\))

Generaliseringar

På samma sätt är en uddadimensionell sfär stratifierad med en lagercirkel över . Ibland kallas denna bunt även för Hopf-bunten. $S^{2n+1}$ $\mathbb {C} P^{n}$

Det finns också (förutom " komplex ") verkliga , quaternion och oktavversioner av sådana familjer av buntar. De börjar med:

{\displaystyle S^{0}\hookrightarrow S^{1}\rightarrow S^{1))

(verklig),

S^{1}\hookrightarrow S^{3}\rightarrow S^{2}

(komplex - korrekt Hopf-fibrering),

{\displaystyle S^{3}\hookrightarrow S^{7}\rightarrow S^{4))

(kvarternion),

S^{7}\hookrightarrow S^{15}\rightarrow S^{8}

(oktav).

Sådana buntar av sfären , för vilka både skiktet, basen och det totala utrymmet är sfärer, är endast möjliga i fallen . Exklusiviteten för dessa fall beror på att multiplikation utan nolldelare endast kan definieras för . $S^{n}$ ${\displaystyle n\in \{1,3,7,15\))$ $\mathbb {R} ^{n}$ $n\in \{1,2,4,8\}$

Se även

Riemann-sfären är en komplex projektiv linje, basgrenröret för Hopf-bunten
Enhetsgruppen U(1) är strukturgruppen för Hopf-bunten
Tredimensionell sfär - det totala utrymmet för Hopf-fibrationen
Poincaré- sfären och Bloch-sfären — Hopf-bunten i fysik beskriver polariseringen av en tvärvåg, tillståndet för ett tvånivås kvantsystem, den relativistiska förvrängningen av himlaklotet, och så vidare [1] [2]
Milnors sfär

Anteckningar

↑ R. Penrose, W. Rindler. Spinorer och rum-tid, spinor och twistor-metoder i rum-tidsgeometri . - Moskva "Mir", 1988. - S. 78. (ryska) Arkiverad kopia (otillgänglig länk) . Tillträdesdatum: 1 februari 2012. Arkiverad från originalet 3 oktober 2015. (obestämd)
↑ D.N. Klyshko. Bär geometrisk fas i oscillerande processer // Uspekhi fizicheskikh nauk : zhurnal. - Ryska vetenskapsakademin , 1993. - T. 163 , nr 11 . - S. 1 . (ryska)

Hopp bunt

Generaliseringar

Se även

Anteckningar

Länkar