Bloch sfär

Bloch-sfären är ett sätt att representera de rena tillstånden i en qubit som punkter på en sfär .

Uppkallad efter Felix Bloch .

Beskrivning

Vågfunktionen som beskriver det rena tillståndet för en qubit kan representeras som en överlagring av dess två grundtillstånd och [1] : $|\mathbf {\psi } \rangle$ $|\mathbf {0} \rangle ={\bigl [}{\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}}{\bigr ]}$ $|\mathbf {1} \rangle ={\bigl [}{\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}}{\bigr ]}$

|\mathbf {\psi } \rangle =c_{0}|\mathbf {0} \rangle +c_{1}|\mathbf {1} \rangle ,\qquad c_{0},c_{1} \in \mathbb {C} ,\quad |c_{0}|^{2}+|c_{1}|^{2}=1

Denna representation består av 4 verkliga parametrar. Men på grund av begränsningar kan antalet parametrar minskas.

Eftersom koefficienterna och är komplexa tal kan de representeras i det polära koordinatsystemet : $c_{0}$ $c_{{1}}$

c_{0}=r_{0}e^{i\phi _{0}}\qquad c_{1}=r_{1}e^{i\phi _{1}}

var och är de absoluta värdena för , och och är vinklarna. $r_{0}$ ${\displaystyle r_{1))$ $\phi _{0}$ $\phi _{{1}}$

När vi ersätter den polära representationen av koefficienterna i det ursprungliga uttrycket får vi: $|\mathbf {\psi } \rangle$

|\mathbf {\psi } \rangle =r_{0}e^{i\phi _{0))|\mathbf {0} \rangle +r_{1}e^{i\phi _{1 }}|\mathbf {1} \rangle

Vågfunktioner som skiljer sig från varandra genom att multiplicera med ett komplext tal går inte att särskilja. Därför, om vi accepterar , kan tillståndet för den betraktade qubit representeras som $e^{i\xi }$ $\xi =-\phi _{0}$

|\mathbf {\psi } \rangle =e^{-i\phi _{0))|\mathbf {\psi } \rangle =e^{-i\phi _{0))\left( r_{0}e^{i\phi _{0}}|\mathbf {0} \rangle +r_{1}e^{i\phi _{1}}|\mathbf {1} \rangle \right) =r_{0}|\mathbf {0} \rangle +r_{1}e^{i(\phi _{1}-\phi _{0})}|\mathbf {1} \rangle

Således kan antalet oberoende reella parametrar som krävs för att beskriva ett system med en qubit reduceras till tre: de absoluta värdena och , såväl som vinkelskillnaden . $r_{0}$ ${\displaystyle r_{1))$ $\phi =\phi _{1}-\phi _{0};\;\phi \in [0,2\pi )$

Av den ovan nämnda begränsningen följer att . Således kan de absoluta värdena också representeras som $|c_{0}|^{2}+|c_{1}|^{2}=1$ $r_{0}^{2}+r_{1}^{2}=1$

r_{0}=\cos {\tfrac {\theta }{2}}\qquad r_{1}=\sin {\tfrac {\theta }{2}}

var är någon vinkel. $\theta \i [0,\pi ]$

Således kan det initiala tillståndet för ett kvantsystem som består av en enda qubit beskrivas ekvivalent med endast två reella parametrar, vinklar och : $\phi$ $\theta$

|\mathbf {\psi } \rangle =\cos {\tfrac {\theta }{2))|\mathbf {0} \rangle +e^{i\phi}\sin {\tfrac {\theta }{2}}|\mathbf {1} \rangle

Eftersom vinklarna och är oberoende kan de betraktas som longitud respektive latitud på en viss sfär som kallas Bloch-sfären (se illustration). $\phi$ $\theta$

Kvantmekanikens matematiska apparat använder Hilbert , mer exakt, komplext projektivt Hilbert-rum för att beskriva fysiska system. Rymden av rena tillstånd i ett kvantsystem ges av de raka linjerna i Hilbertrummet (eller av punkterna i det projektiva Hilbertrummet). I fallet med ett tvådimensionellt Hilbert-rum är detta helt enkelt den komplexa projektiva linjen , som kan identifieras med en sfär . $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}$ $\mathbb {S} ^{2}=\mathbb {S} ^{3}/\mathbb {S} ^{1}$

Bloch-sfären är en enda tvådimensionell sfär, vars varje par av diametralt motsatta punkter motsvarar ömsesidigt ortogonala tillståndsvektorer. Man brukar anta att Blochsfärens nord- och sydpoler motsvarar basvektorerna och , som i sin tur kan motsvara till exempel två elektronspintillstånd (" snurra upp" och "snurra ner"). Detta val av poäng är dock godtyckligt. Punkter på sfärens yta motsvarar rena tillstånd i kvantsystemet, medan punkter inuti sfären representerar blandade tillstånd. $|0\rangle$ $|1\rangle$

Se även

Litteratur

Nielsen M., Chang I. Quantum Computing and Quantum Information: Per. från engelska - M .: Mir, 2006. 824 sid. ISBN 5-03-003524-9

Anteckningar

↑ Anastasios Kyrillidis. Introduktion till kvantberäkning: Bloch-sfären. (engelska) . http://akyrillidis.github.io _ http://akyrillidis.github.io+ (14 januari 2018). Hämtad 28 februari 2019. Arkiverad från originalet 28 februari 2019.