Polärt koordinatsystem

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 10 november 2021; kontroller kräver 4 redigeringar .

Ett polärt koordinatsystem är ett tvådimensionellt koordinatsystem där varje punkt på ett plan definieras av två tal - en polär vinkel och en polär radie. Det polära koordinatsystemet är särskilt användbart när relationer mellan punkter är lättare att representera som radier och vinklar; i det vanligare kartesiska eller rektangulära koordinatsystemet kan sådana samband endast upprättas genom att tillämpa trigonometriska ekvationer.

Det polära koordinatsystemet ges av en stråle, som kallas nollstrålen, eller polaxeln. Punkten från vilken denna stråle kommer fram kallas ursprunget eller polen. Varje punkt på planet definieras av två polära koordinater: radiell och vinkel. Den radiella koordinaten (vanligtvis betecknad ) motsvarar avståndet från punkten till origo. Vinkelkoordinaten kallas även polarvinkeln eller azimut och betecknas med , lika med vinkeln med vilken du behöver vrida polaxeln moturs för att komma till denna punkt [1] . $r$ $\varphi$

Den radiella koordinaten som definieras på detta sätt kan ta värden från noll till oändlighet , och vinkelkoordinaten varierar från 0° till 360°. Men för enkelhetens skull kan värdeintervallet för den polära koordinaten utökas bortom hela vinkeln och även tillåtas att ta negativa värden, vilket motsvarar rotationen av polaxeln medurs.

Historik

Begreppen vinkel och radie var kända redan under det första årtusendet f.Kr. Den grekiske astronomen Hipparchus (190-120 f.Kr.) skapade en tabell där ackordlängder angavs för olika vinklar. Det finns bevis på hans användning av polära koordinater för att bestämma himlakropparnas position [2] . Arkimedes beskriver i sin uppsats "Spiraler" den så kallade Arkimedesspiralen, en funktion vars radie beror på vinkeln. De grekiska forskarnas arbete utvecklades dock inte till en sammanhängande definition av koordinatsystemet.

På 900-talet använde den persiske matematikern Khabbash al-Khasib (al-Marwazi) metoderna för kartografiska projektioner och sfärisk trigonometri för att omvandla polära koordinater till ett annat koordinatsystem centrerat någon gång på sfären, i detta fall, för att bestämma Qibla - riktningen till Mecka [3] . Den persiske astronomen Abu Rayhan Biruni ( 973 - 1048 ) lade fram idéer som ser ut som en beskrivning av det polära koordinatsystemet. Han var den förste som, omkring 1025 , beskrev den polära ekvi-azimutala ekvidistanta projektionen av himmelssfären [4] .

Det finns olika versioner om införandet av polära koordinater som ett formellt koordinatsystem. Hela historien om uppkomsten och forskningen beskrivs i arbetet av Harvardprofessor Julian Lovell Coolidge "The Origin of Polar Coordinates" [5] . Grégoire de Saint-Vincent och Bonaventura Cavalieri kom oberoende av varandra fram till ett liknande koncept i mitten av 1600-talet. Saint-Vincent beskrev polarsystemet i personliga anteckningar 1625, efter att ha publicerat sina verk 1647 ; och Cavalieri publicerade sina verk 1635 och en reviderad version 1653 . Cavalieri använde polära koordinater för att beräkna området som begränsas av Arkimedes spiral. Blaise Pascal använde därefter polära koordinater för att beräkna längden på parabolbågar .

I The Method of Fluxions, skriven 1671 , tryckt 1736, utforskade Sir Isaac Newton transformationen mellan polära koordinater, som han betecknade som "Den sjunde vägen; För spiraler ” (” Sjunde sättet; För spiraler ”), och nio andra koordinatsystem [6] . I en artikel publicerad 1691 i tidskriften Acta eruditorum använde Jacob Bernoulli ett system med en punkt på en linje, som han kallade polen respektive polaxeln. Koordinaterna angavs som ett avstånd från polen och en vinkel från polaxeln. Bernoullis arbete ägnades åt problemet att hitta krökningsradien för kurvor definierade i detta koordinatsystem.

Introduktionen av termen "polära koordinater" krediteras Gregorio Fontana . På 1700-talet ingick den i italienska författares lexikon. Termen kom till engelska genom översättningen av Sylvester Lacroixs avhandling "Differential and Integral Calculus", utförd 1816 av George Peacock [7] [8] För det tredimensionella rummet föreslogs polära koordinater först av Alexi Clairaut och Leonard Euler var den första att utveckla motsvarande system [5] .

Grafisk representation

Varje punkt i det polära koordinatsystemet kan definieras av två polära koordinater, som vanligtvis kallas (radiell koordinat, det finns en beteckningsvariant ) och (vinkelkoordinater, polarvinkel, fasvinkel, azimut, positionsvinkel , ibland skriven eller ). Koordinaten motsvarar avståndet från punkten till koordinatsystemets centrum eller pol, och koordinaten är lika med vinkeln räknad moturs från strålen genom 0° (kallas ibland koordinatsystemets polära axel) [1] . $r$ $\rho$ $\varphi$ $\theta$ $t$ $r$ $\varphi$

Den polära radien definieras för vilken punkt som helst i planet och tar alltid icke-negativa värden . Den polära vinkeln definieras för vilken punkt som helst i planet, utom för polen , och antar värdena . Den polära vinkeln mäts i radianer och mäts från polaxeln: $r\geqslant 0$ $\varphi$ $O$ $-\pi <\varphi \leqslant \pi$

i positiv riktning (moturs) om vinkelvärdet är positivt;
i negativ riktning (medurs) om vinkelvärdet är negativt.

Till exempel kommer en punkt med koordinater att visas på grafen som en punkt på en stråle som ligger i en vinkel på 60° mot polaxeln, på ett avstånd av 3 enheter från polen. Punkten med koordinater kommer att ritas på samma plats. $(3,\;60^{\cirkel })$ $(3,\;-300^{\circ })$

En av de viktiga egenskaperna hos det polära koordinatsystemet är att samma punkt kan representeras på ett oändligt antal sätt. Detta beror på att för att bestämma azimuten för en punkt måste du rotera polaxeln så att den pekar mot punkten. Men riktningen till punkten kommer inte att ändras om ett godtyckligt antal ytterligare hela varv görs. I det allmänna fallet kan en punkt representeras som eller , där är ett godtyckligt heltal [9] . $(r,\;\varphi )$ $(r,\;\varphi \pm n\ gånger 360^{\circ })$ $(-r,\;\varphi \pm (2n+1)\ gånger 180^{\circ })$ $n$

Koordinater används för att beteckna stolpen . Oavsett koordinaten finns alltid en punkt med noll avstånd från polen på den [10] . För att få entydiga punktkoordinater bör man vanligtvis begränsa avståndsvärdet till icke-negativa värden och vinkeln till intervallet eller (i radianer eller ) [11] . $(0,\;\varphi )$ $\varphi$ $r\geqslant 0$ $\varphi$ $[0,\;360^{\cirkel })$ $(-180^{\circ },\;180^{\circ }]$ $[0,\;2\pi )$ $(-\pi ,\;\pi ]$

Vinklar i polära koordinater anges antingen i grader eller i radianer, med . Valet beror vanligtvis på applikationen. Navigering använder traditionellt grader , medan vissa grenar av fysiken och nästan alla grenar av matematik använder radianer [12] . $2\pi \;{\mathrm {RAD}}=360^{\circ }$

Förhållandet mellan kartesiska och polära koordinater

Ett par polära koordinater och kan omvandlas till kartesiska koordinater och genom att tillämpa de trigonometriska funktionerna av sinus och cosinus (det antas att nollstrålen i det polära koordinatsystemet sammanfaller med det kartesiska systemets axel): $r$ $\varphi$ $x$ $y$ $x$

x=r\cos \varphi ,

y=r\sin \varphi ,

medan de två är kartesiska koordinater och kan omvandlas till en polär koordinat : $x$ $y$ $r$

r^{2}=y^{2}+x^{2}

(av Pythagoras sats ).

För att bestämma vinkelkoordinaten bör följande två överväganden tas i beaktande: $\varphi$

För , kan vara ett godtyckligt reellt tal. ${r\equiv 0}$ $\varphi$
För att få ett unikt värde bör du begränsa dig till ett intervall på . Välj vanligtvis intervall eller . $r\neq 0$ $\varphi$ $2\pi$ $[0,\;2\pi )$ $(-\pi ,\;\pi ]$

För att beräkna i intervallet kan du använda följande ekvationer ( anger den inversa funktionen till tangenten): $\varphi$ $[0,\;2\pi )$ $\mathrm{arctg}$

\varphi ={\begin{cases}\operatörsnamn {arctg} ({\frac {y}{x)),&x>0,y\geq 0\\\operatörsnamn {arctg} ({\frac { y }{x)))+2\pi ,&x>0,y<0\\\operatörsnamn {arctg} ({\frac {y}{x)))+\pi ,&x<0\\{\frac { \pi }{2)),&x=0,y>0\\{\frac {3\pi }{2)),&x=0,y<0\\-&x=0,y=0\end { fall}}

För att beräkna i intervallet kan du använda följande ekvationer: [13] $\varphi$ $(-\pi ,\;\pi ]$

\varphi ={\begin{cases}\operatörsnamn {arctg} ({\frac {y}{x))),&x>0\\\operatörsnamn {arctg} ({\frac {y}{x} })+\pi ,&x<0,y\geq 0\\\operatörsnamn {arctg} ({\frac {y}{x)))-\pi ,&x<0,y<0\\{\frac { \pi }{2)),&x=0,y>0\\-{\frac {\pi }{2)),&x=0,y<0\\-&x=0,y=0\end{ fall}}

Med tanke på att för att beräkna den polära vinkeln räcker det inte att känna till förhållandet till , och tecknen på ett av dessa tal behövs också, många av de moderna programmeringsspråken har bland sina funktioner, förutom funktionen som bestämmer bågtangens för talet, även en extra funktion , som har separata argument för täljaren och nämnaren . I programmeringsspråk som stöder valfria argument (som Common Lisp ), kan en funktion ta ett koordinatvärde . Det kan dock noteras att, oavsett tecknen på de kartesiska koordinaterna, beräknas de partiella derivatorna av vinkeln med avseende på dem helt enkelt, tack vare vilket vi får bekväma jakobianska matriser: $y$ $x$ atanatan2atan $x$

$J=\det {\frac {\partial (x,\;y)}{\partial (r,\;\varphi )))={\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial x}{ \partial r))&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi ))\\{\dfrac {\partial y}{\partial r))&{\dfrac {\partial y}{\partial \ varphi }}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\cos(\varphi )&-r\sin(\varphi )\\\sin(\varphi )&r\cos(\varphi )\end{vmatrix }}.$

$J^{-1}=\det {\frac {\partial (r,\;\varphi )}{\partial (x,\;y)))={\begin{vmatrix}{\dfrac { \partial r}{\partial x))&{\dfrac {\partial r}{\partial y))\\{\dfrac {\partial \varphi }{\partial x))&{\dfrac {\partial \ varphi }{\partial y}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\cos(\varphi )&\sin(\varphi )\\-{\dfrac {1}{r}}\sin( \varphi )&{\dfrac {1}{r}}\cos(\varphi )\end{vmatrix}}.$

Ekvation av kurvor i polära koordinater

På grund av det polära koordinatsystemets radiella natur kan vissa kurvor beskrivas helt enkelt med en polär ekvation, medan en ekvation i ett rektangulärt koordinatsystem skulle vara mycket mer komplicerad. Bland de mest kända kurvorna är polarrosen , arkimediska spiralen , lemniscaten , Pascals snigel och kardioiden .

Cirkel

Den allmänna ekvationen för en cirkel med centrum vid ( ) och radie är: $r_{0},\;\theta$ $a$

r^{2}-2rr_{0}\cos(\varphi -\theta )+r_{0}^{2}=a^{2}.

Denna ekvation kan förenklas för till exempel speciella fall

r(\varphi )=a

är en ekvation som definierar en cirkel centrerad vid polen och med radie [14] . $a$

Direkt

De radiella linjerna (de som passerar genom polen) definieras av ekvationen

\varphi=\theta

var är vinkeln med vilken den räta linjen avviker från polaxeln, det vill säga , var är den räta linjens lutning i ett rektangulärt koordinatsystem. En icke-radiell linje som vinkelrätt skär en radiell linje i en punkt ges av ekvationen $\theta$ $\theta ={\mathrm {arctg}}\,m$ $m$ $\varphi=\theta$ $(r_{0},\;\theta )$

r(\varphi )=r_{0}\sec(\varphi -\theta ).

Polar Rose

Polarrosen är en välkänd matematisk kurva som ser ut som en blomma med kronblad. Det kan bestämmas med en enkel ekvation i polära koordinater:

r(\varphi )=a\cos(k\varphi +\theta _{0})

för en godtycklig konstant (inklusive 0). Om är ett heltal, kommer denna ekvation att bestämma en ros med kronblad för udda eller med kronblad för jämnt . Om är ett rationellt men inte ett heltal, kommer grafen som ges av ekvationen att bilda en form som liknar en ros, men kronbladen överlappar varandra. Om - irrationell, så består rosen av ett oändligt antal delvis överlappande kronblad. Rosor med 2, 6, 10, 14, etc. kronblad kan inte bestämmas med denna ekvation. Variabeln bestämmer längden på kronbladen. $\theta _{0}$ $k$ $k$ $k$ $2k$ $k$ $k$ $k$ $a$

Om vi antar att radien inte kan vara negativ, kommer vi för alla naturliga att ha en kronbladsros. Så ekvationen kommer att definiera en ros med två kronblad. Ur geometrisk synvinkel är radien avståndet från polen till punkten och den kan inte vara negativ. $k$ $k$ $r(\varphi)=\cos(2\varphi)$

Spiral of Archimedes

Den arkimedeiska spiralen är uppkallad efter sin uppfinnare, den antika grekiske matematikern Arkimedes . Denna spiral kan definieras med en enkel polär ekvation:

r(\varphi )=a+b\varphi .

Förändringar i parametern leder till att spiralen roterar, och förändringen i parametern leder till avståndet mellan varven, vilket är en konstant för en viss spiral. Arkimedesspiralen har två grenar, en för och den andra för . De två grenarna förenas smidigt vid stolpen. Att spegla en gren med avseende på en rät linje som går genom en 90°/270° vinkel kommer att producera en annan gren. Denna kurva är intressant eftersom den var en av de första som beskrivs i den matematiska litteraturen, efter koniska sektionen , och det är bättre än andra att den bestäms av den polära ekvationen. $a$ $b$ $\varphi >0$ $\varphi<0$

Koniska sektioner

En konisk sektion med en av brännpunkterna vid polen och den andra någonstans på polaxeln (så att den halvstora axeln ligger längs polaxeln) ges av:

r={\frac {\ell }{1-e\cos \varphi }}

var är excentriciteten och är fokusparametern. Om , denna ekvation definierar en hyperbel; om , då en parabel; om , då en ellips. Ett specialfall är , som definierar en cirkel med radie . $e$ $\aln$ $e>1$ $e=1$ $e<1$ $e=0$ $\aln$

Komplexa tal

Varje komplext tal kan representeras av en punkt på det komplexa planet, och följaktligen kan denna punkt definieras i kartesiska koordinater (rektangulär eller kartesisk form) eller i polära koordinater (polär form). Ett komplext tal kan skrivas i rektangulär form så här: $z$

z=x+iy

var är den imaginära enheten , eller i polär (se formler för konvertering mellan koordinatsystem ovan): $i$

z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )

och härifrån:

{\displaystyle z=re^{i\varphi ))

var är Euler-numret . Tack vare Euler-formeln är båda representationerna ekvivalenta [15] (I denna formel, liksom andra formler som innehåller exponentiering av vinklar, är vinkeln given i radianer) $e$ $\varphi$

För att växla mellan rektangulär och polär representation av komplexa tal kan ovanstående omvandlingsformler mellan koordinatsystem användas.

Multiplikation, division och exponentiering med komplexa tal är i allmänhet lättare att göra i polär form. Enligt reglerna för exponentiering:

Multiplikation:

r_{0}e^{{i\varphi _{0}}}\cdot r_{1}e^{{i\varphi _{1}}}=r_{0}r_{1}e^{{i (\varphi _{0}+\varphi _{1})}}.

Division:

{\frac {r_{0}e^{{i\varphi _{0)))){r_{1}e^{{i\varphi _{1))))}={\frac {r_{0 }}{r_{1}}}e^{{i(\varphi _{0}-\varphi _{1})}}.

Exponentiering ( De Moivres formel ):

(re^{{i\varphi }})^{n}=r^{n}e^{{in\varphi }}.

I matematisk analys

Funktionerna för matematisk analys kan också formuleras med hjälp av polära koordinater [16] [17] .

Differentialkalkyl

Följande formler är giltiga:

r{\frac {\partial }{\partial r))=x{\frac {\partial }{\partial x))+y{\frac {\partial }{\partial y)),

{\frac {\partial }{\partial \varphi ))=-y{\frac {\partial }{\partial x))+x{\frac {\partial }{\partial y)).

För att hitta tangenten för tangentens lutning till en given punkt på den polära kurvan i kartesiska koordinater, uttrycker vi dem genom ett ekvationssystem i en parametrisk form: $r(\varphi)$

x=r(\varphi )\cos \varphi ,

y=r(\varphi )\sin \varphi .

Genom att differentiera båda ekvationerna med avseende på får vi: $\varphi$

{\frac {dx}{d\varphi }}=r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi ,

{\frac {dy}{d\varphi }}=r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi .

Genom att dividera dessa ekvationer (den andra med den första) får vi den önskade tangenten för tangentens lutning i det kartesiska koordinatsystemet vid punkten : $(r,\;r(\varphi ))$

{\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi }{r'(\varphi )\cos \varphi -r( \varphi )\sin \varphi }}.

Integralkalkyl

Låta vara den region som bildas av den polära kurvan och strålarna och , där . Då är området för denna region en bestämd integral : $R$ $r(\varphi)$ $\varphi=a$ $\varphi=b$ $0<ba<2\pi$

{\frac {1}{2}}\int \limits _{a}^{b}[r(\varphi )]^{2}\,d\varphi .

Ett sådant resultat kan erhållas enligt följande. Först delar vi in intervallet i ett godtyckligt antal delintervall . Således är längden av ett sådant delintervall (totala längden av intervallet) dividerat med (antal delintervall). Låt för varje delintervall vara mittpunkten. Låt oss konstruera sektorer med centrum vid polen, radier , mittvinklar och båglängd . Därför kommer området för varje sådan sektor att vara . Därför är den totala ytan för alla sektorer: $[a,\;b]$ $n$ $\Delta \varphi$ $ba$ $n$ $i=1,\;2,\;\ldots ,\;n$ $\varphi _{i}$ $r(\varphi _{i})$ $\Delta \varphi$ $r(\varphi _{i})\Delta \varphi$ ${\frac {1}{2}}r(\varphi _{i})^{2}\Delta \varphi$

\sum _{{i=1}}^{n}{\frac {1}{2}}r(\varphi _{i})^{2}\,\Delta \varphi .

Om antalet delintervall ökas, kommer felet för ett sådant ungefärligt uttryck att minska. Genom att ställa in blir den resulterande summan integral. Gränsen för denna summa vid bestäms av integralen som beskrivs ovan: $n$ $n\till\infty$ $\Delta \varphi \till 0$

\lim _{{\Delta \varphi \to 0}}\sum _{{i=1}}^{\infty }{\frac {1}{2}}r(\varphi _{i})^{ 2}\,\Delta \varphi ={\frac {1}{2}}\int \limits _{a}^{b}[r(\varphi )]^{2}\,d\varphi .

Generalisering

Med hjälp av kartesiska koordinater kan arean av ett infinitesimalt element beräknas som . När du byter till ett annat koordinatsystem i flera integraler är det nödvändigt att använda Jacobi-determinanten : $dA=dx\,dy$

J=\det {\frac {\partial (x,\;y)}{\partial (r,\;\varphi )))={\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }} \end{vmatrix}}.

För ett polärt koordinatsystem är Jacobi-matrisdeterminanten : $r$

J={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{vmatrix}}=r\cos ^{2}\varphi +r\sin ^{2}\varphi =r.

Därför kan elementets area i polära koordinater skrivas som följer:

dA=J\,dr\,d\varphi =r\,dr\,d\varphi .

Nu kan en funktion skriven i polära koordinater integreras enligt följande:

\iint \limits _{R}f(r,\;\varphi )\,dA=\int \limits _{a}^{b}\int \limits _{0}^{{r(\varphi )} }f(r,\;\varphi )\,r\,dr\,d\varphi .

Här är området , som i föregående avsnitt, det som bildas av den polära kurvan och strålarna och . $R$ $r(\varphi)$ $\varphi=a$ $\varphi=b$

Formeln för beräkning av arean, som beskrivs i föregående avsnitt, erhålls i fallet med . Ett intressant resultat av att tillämpa formeln för multipla integraler är Euler-Poisson-integralen : $f=1$

\int \limits _{{-\infty }}^{\infty }e^{{-x^{2}}}\,dx={\sqrt \pi }.

Vektoranalys

För polära koordinater kan element av vektoranalys användas . Vilket vektorfält som helst på ett tvådimensionellt utrymme (plan) kan skrivas i ett polärt koordinatsystem med hjälp av enhetsvektorer : $\mathbf {F}$

{\mathbf {e}}_{r}=(\cos \varphi ,\;\sin \varphi )

i riktning och $\mathbf {r}$

{\mathbf {e))_{\varphi }=(-\sin \varphi ,\;\cos \varphi );

{\mathbf {F}}=F_{r}{\mathbf {e}}_{r}+F_{\varphi }{\mathbf {e}}_{\varphi }.

Kopplingen mellan de kartesiska komponenterna i fältet och och dess komponenter i det polära koordinatsystemet ges av ekvationerna: $F_{x}$ $F_{y}$

F_{x}=F_{r}\cos \varphi -F_{\varphi }\sin \varphi ;

F_{y}=F_{r}\sin \varphi +F_{\varphi }\cos \varphi .

Följaktligen definieras vektoranalysoperatorer i det polära koordinatsystemet. Till exempel skrivs gradienten för ett skalärt fält : $\Phi (r,\;\varphi)$

{\mathrm {grad}}\,\Phi ={\frac {\partial \Phi }{\partial r}}{\mathbf {e}}_{r}+{\frac {1}{r}}{ \frac {\partial \Phi }{\partial \varphi }}{\mathbf {e}}_{\varphi }.

Allt detta fungerar förutom en singulär punkt - polen, för vilken den inte är definierad, och vektorbasen som beskrivs ovan kan inte konstrueras på detta sätt vid denna punkt. Detta måste man ha i åtanke, även om vektorfälten som studeras med hjälp av polära koordinater i praktiken ofta antingen själva har en singularitet vid denna punkt, eller är lika med noll vid den, vilket underlättar saken något. Dessutom komplicerar användningen av polära koordinater inte på något sätt uttrycket av ett godtyckligt vektorfält som är godtyckligt nära denna punkt. $\varphi$

3D-expansion

Det polära koordinatsystemet utökas till den tredje dimensionen med två system: cylindriskt och sfäriskt, båda innehåller det tvådimensionella polära koordinatsystemet som en delmängd. I huvudsak förlänger det cylindriska systemet det polära systemet genom att lägga till ytterligare en avståndskoordinat, medan det sfäriska systemet lägger till ytterligare en vinkelkoordinat.

Cylindriska koordinater

Det cylindriska koordinatsystemet förlänger grovt sett det platta polarsystemet genom att lägga till en tredje linjär koordinat, kallad "höjd" och lika med höjden av en punkt ovanför nollplanet, liknande hur det kartesiska systemet utvidgas till fallet med tre mått. Den tredje koordinaten betecknas vanligtvis som bildar en triad av koordinater . $z$ $(\rho ,\;\varphi ,\;z)$

Trippeln av cylindriska koordinater kan omvandlas till det kartesiska systemet genom följande transformationer:

{\begin{cases}x=\rho \cos \varphi ;\\y=\rho \sin \varphi ;\\z=z.\end{cases))

Sfäriska koordinater

Dessutom kan polära koordinater utökas till tre dimensioner genom att lägga till en vinkelkoordinat som är lika med rotationsvinkeln från den vertikala axeln (kallad zenit eller latitud, värdena ligger i intervallet från 0 till 180 °). Det vill säga, sfäriska koordinater är tre , där är avståndet från koordinaternas centrum, är vinkeln från axeln (som i platta polära koordinater), är latitud. Det sfäriska koordinatsystemet liknar det geografiska koordinatsystemet för att bestämma en plats på jordens yta, där ursprunget sammanfaller med jordens centrum, latituden är komplementet och är lika med , och longituden beräknas med formeln [ 18] . $\theta$ $z$ $(r,\;\varphi,\;\theta)$ $r$ $\varphi$ $x$ $\theta$ $\delta$ $\theta$ $\delta =90^{\cirkel }-\theta$ $l$ $l=\varphi -180^{\circ }$

Trippeln av sfäriska koordinater kan omvandlas till det kartesiska systemet genom följande transformationer:

{\begin{cases}x=r\sin \theta \cos \varphi ;\\y=r\sin \theta \sin \varphi ;\\z=r\cos \theta .\end{cases))

Generalisering till n dimensioner

Det polära koordinatsystemet kan utökas till fallet med -dimensionellt rymd. Låt , vara koordinatvektorer av -dimensionella rektangulära koordinatsystem. De erforderliga koordinaterna i det dimensionella polära systemet kan anges som vektorns avvikelsevinkel från koordinataxeln . $n$ $x_{i}\in {\mathbb {R}}$ $i=1,\;\ldots ,\;n$ $n$ $n$ $x\in {\mathbb {R}}^{n}$ $x_{{i+2}}$

För att konvertera generaliserade -dimensionella polära koordinater till kartesiska, kan du använda följande formler: $n$

{\begin{array}{lcr}x_{1}&=&r\cos \varphi \sin \vartheta _{1}\sin \vartheta _{2}\ldots \sin \vartheta _{{n-3)) \sin \vartheta _{{n-2}};\\x_{2}&=&r\sin \varphi \sin \vartheta _{1}\sin \vartheta _{2}\ldots \sin \vartheta _{ {n-3}}\sin \vartheta _{{n-2}};\\x_{3}&=&r\cos \vartheta _{1}\sin \vartheta _{2}\ldots \sin \vartheta _{{n-3}}\sin \vartheta _{{n-2}};\\x_{4}&=&r\cos \vartheta _{2}\ldots \sin \vartheta _{{n-3 }}\sin \vartheta _{{n-2}};\\\ldots &\ldots &\ldots \qquad \qquad \qquad \\x_{{n-1}}&=&r\cos \vartheta _{ {n-3}}\sin \vartheta _{{n-2}};\\x_{n}&=&r\cos \vartheta _{{n-2}}.\end{array}}

Som kan visas motsvarar fallet det vanliga polära koordinatsystemet på planet och det vanliga sfäriska koordinatsystemet. $n=2$ $n=3$

Jacobian för att konvertera polära till kartesiska koordinater ges av:

\det {\frac {\partial (x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})}{\partial (r,\;\varphi ,\;\vartheta _{1}, \;\ldots ,\;\vartheta _{n-2})}}=r^{n-1}\sin \vartheta _{1}(\sin \vartheta _{2})^{2}\ldots (\sin \vartheta _{n-2})^{n-2}

där -dimensionellt volymelement har formen: $n$

dV=r^{{n-1}}\sin \vartheta _{1}(\sin \vartheta _{2})^{2}\ldots (\sin \vartheta _{{n-2}})^ {{n-2}}\,dr\,d\varphi \,d\vartheta _{1}\ldots d\vartheta _{{n-2}}=

=r^{{n-1}}\,dr\,d\varphi \prod \limits _{{j=1}}^{{n-2}}(\sin \vartheta _{j})^{ j}\,d\vartheta _{j}.

Applikation

Det polära koordinatsystemet är tvådimensionellt och kan därför endast användas i de fall där punktens läge bestäms på ett plan, eller vid homogenitet av systemegenskaperna i den tredje dimensionen, till exempel när man överväger ett flöde i ett runt rör. Det bästa sammanhanget för att använda polära koordinater är i fall som är nära relaterade till riktning och avstånd från något centrum. Till exempel visar exemplen ovan att enkla ekvationer i polära koordinater är tillräckliga för att definiera kurvor som den arkimedeiska spiralen, vars ekvationer i rektangulära koordinater är mycket mer komplicerade. Dessutom är många fysiska system – de som innehåller kroppar som rör sig runt ett centrum, eller fenomen som fortplantar sig från något centrum – mycket lättare att modellera i polära koordinater. Anledningen till skapandet av det polära koordinatsystemet var studiet av orbital och cirkulär rörelse, senare visade det sig att det ibland är extremt bekvämt för studiet av icke-cirkulär rörelse (se Keplerian problem ).

Positionering och navigering

Det polära koordinatsystemet används ofta i navigering eftersom en destination kan anges som avstånd och färdriktning från startpunkten. Till exempel inom flyget används en något modifierad version av polära koordinater för navigering. I detta system, som vanligtvis används för navigering, kallas 0°-strålen som 360-riktningen, och vinklarna mäts i medurs riktning. Riktning 360 motsvarar magnetisk nord, och riktning 90, 180 och 270 motsvarar magnetisk öst, syd och väst [19] . Således kan ett flygplan som flyger 5 nautiska mil österut beskrivas som ett flygplan som flyger 5 enheter i riktning 90 (mission control kommer att kalla det nio-noll) [20] .

Tillämpningar i fysik

System med radiell symmetri är mycket väl lämpade att beskrivas i radiella koordinater, där koordinatsystemets pol sammanfaller med symmetricentrum. Ett exempel är grundvattenflödesekvationen vid radiellt symmetriska brunnar. System med centrala krafter är också lämpliga för modellering i polära koordinater. Sådana system inkluderar gravitationsfält som följer lagen om omvänt kvadratberoende, och i allmänhet centrala krafter. Polära koordinater ger också betydande bekvämlighet när man arbetar med system som har punktenergikällor (eller ungefär punktenergikällor), såsom radioantenner - när man studerar deras strålning på relativt stora avstånd från antennen, utbredningen av ljud eller ljus - speciellt (men inte nödvändigtvis) sfäriskt eller cylindriskt symmetriska. I vissa problem, inklusive de som nämnts ovan, är användningen av sfäriska eller cylindriska koordinater (som är naturliga för dessa problem) väsentligen reducerad till att använda bara tvådimensionella polära koordinater.

Polära koordinater, både för beräkningar och för att visualisera deras resultat, är ganska användbara inte bara i de fall där problemets symmetri i allmänhet är nära axiell eller sfärisk, utan också i fall där symmetrin är klart långt ifrån sådan, till exempel till beräkna fältdipolen . I det här fallet är användningen av polära koordinater motiverad av den lilla storleken på fältkällan (dipolens laddningar är belägna mycket nära varandra), dessutom uttrycks fältet för varje sådan laddning helt enkelt i polära koordinater, speciellt om du placerar stolpen i en av dessa laddningar (fältet för den andra kommer att skilja sig, förutom tecknet, endast genom en liten korrigering).

Inom kvantmekanik och kemi används polära koordinater (tillsammans med sfäriska koordinater för mer komplexa fall) för att skildra vinkelberoendet av vågfunktionen hos en elektron i en atom, inklusive för kvalitativ analys och klarhet i undervisningen.

Tillämpningar, strålningsmönster

Inom olika tillämpade områden används polära koordinater både på sätt som ligger nära de som används inom motsvarande områden inom fundamental fysik, och på ett oberoende sätt.

3D-modellering av ljudet från högtalare kan användas för att förutsäga deras prestanda. Det är nödvändigt att göra flera diagram i polära koordinater för ett brett spektrum av frekvenser, eftersom fronten varierar avsevärt med ljudets frekvens. Polära diagram hjälper dig att se att många nedåtriktade högtalare tappar riktningsförmågan. I fallet med en radiator med strikt axiell symmetri eller något som avviker från den, är det tillräckligt att använda inte sfäriska, utan vanliga (tvådimensionella) polära koordinater, eftersom beroendet i alla plan som passerar genom symmetriaxeln kommer att vara samma eller nästan samma. Om det inte finns någon sådan symmetri, kan ett par (för varje frekvens) av polära diagram i vinkelräta plan, för en elliptisk eller rektangulär radiator, kopplad till dess huvudaxlar, ge en uppfattning om ljudflödet i olika riktningar.

I polära koordinater är det också vanligt att representera direktivitetskarakteristiken för mikrofoner , bestäms av förhållandet mellan känslighet när en ljudvåg faller i en vinkel relativt mikrofonens akustiska axel till dess axiella känslighet.

I princip kan polära diagram användas för att representera nästan vilket samband som helst. Men i praktiken väljs denna typ av representation vanligtvis i fall där den beror på den verkliga geometriska riktningen (se till exempel Vindros , Spridningsdiagram , beroende av det reflekterade ljusflödet på vinkeln i fotometri , strålningsmönster för antenner, LED och andra ljussändare, fotosensorer, akustiska system, etc.). Det är också ganska vanligt att man stöter på användningen av polära koordinater i de fall där en av variablerna har en cyklisk karaktär (i polära koordinater är det ganska naturligt att representera den som en vinkel).

Fält som inte är direkt relaterade till fysik kan också tillämpas (även om ibland en mer eller mindre direkt analogi kan spåras i detta avseende), till exempel kan polära diagram som liknar vindrosen användas, till exempel för att studera djurens riktningar migrationer. Sådan användning är ganska bekväm och visuell.

Se även

Koordinatsystem i elementär matematik

Anteckningar

↑ 1 2 Brown, Richard G. Advanced Mathematics: Precalculus with Discrete Mathematics and Data Analysis / Andrew M. Gleason. Evanston, Illinois: McDougal Littell, 1997. - ISBN 0-395-77114-5 .
↑ Friendly, Michael Milstolpar i historien om tematisk kartografi, statistisk grafik och datavisualisering (länk inte tillgänglig) . Hämtad 10 september 2006. Arkiverad från originalet 26 april 2001. (obestämd)
↑ T. Koetsier, L. Bergmans (2005), Mathematics and the Divine , Elsevier , sid. 169, ISBN 0444503285
↑ David A. King (1996), "Astronomy and Islamic Society: Qibla, gnomics and timekeeping", i Roshdi Rashed (red.), Encyclopedia of the History of Arabic Science , Vol. 1, sid. 128-184 [153], Routledge, London och New York
↑ 1 2 Coolidge, Julian The Origin of Polar Coordinates (engelska) // American Mathematical Monthly : journal. - 1952. - Vol. 59 . - S. 78-85 . - doi : 10.2307/2307104 .
↑ Boyer, C. B. Newton som upphovsman till polära koordinater // American Mathematical Monthly : journal . - 1949. - Vol. 56 . - S. 73-78 . - doi : 10.2307/2306162 .
↑ Miller, Jeff De tidigaste kända användningarna av några av matematikens ord . Hämtad 10 september 2006. Arkiverad från originalet 15 februari 2012. (obestämd)
↑ Smith, David Eugene. History of Mathematics, Vol II (obestämd) . - Boston: Ginn och Co., 1925. - S. 324.
↑ Polära koordinater och grafer (PDF) (inte tillgänglig länk) ( 2006-04-13 ). Datum för åtkomst: 22 september 2006. Arkiverad från originalet den 15 februari 2012. (obestämd)
↑ Lee, Theodore; David Cohen, David Sklar. Precalculus: Med enhetscirkeltrigonometri . - Fjärde upplagan. — Thomson Brooks/Cole, 2005. — ISBN 0534402305 .
↑ Stewart, Ian; David Tall. Komplex analys (Hitchhiker's Guide to the Plane ) . - Cambridge University Press , 1983. - ISBN 0521287634 .
↑ Serway, Raymond A.; Jewett, Jr., John W. Fysikens principer (ospecificerat) . — Brooks/Cole—Thomson Learning, 2005. — ISBN 0-534-49143-X .
↑ Torrence, Bruce Follett; Eve Torrence. Elevens introduktion till Mathematica® . - Cambridge University Press , 1999. - ISBN 0521594618 .
↑ Claeys, Johan Polarkoordinater (länk ej tillgänglig) . Hämtad 25 maj 2006. Arkiverad från originalet 15 februari 2012. (obestämd)
↑ Smith, Julius O. Eulers identitet // Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT ) . - W3K Publishing, 2003. - ISBN 0-9745607-0-7 .
↑ Husch, Lawrence S. Områden som begränsas av polära kurvor (länk ej tillgänglig) . Hämtad 25 november 2006. Arkiverad från originalet 11 oktober 2014. (obestämd)
↑ Lawrence S. Husch. Tangentlinjer till polära grafer (inte tillgänglig länk) . Hämtad 25 november 2006. Arkiverad från originalet 2 juli 2015. (obestämd)
↑ Wattenberg, Frank Sfäriska koordinater (länk ej tillgänglig) (1997). Hämtad 16 september 2006. Arkiverad från originalet 15 februari 2012. (obestämd)
↑ Santhi, Sumrit Aircraft Navigation System (länk ej tillgänglig) . Hämtad 26 november 2006. Arkiverad från originalet 15 februari 2012. (obestämd)
↑ Nödsituationer (PDF). Tillträdesdatum: 15 januari 2007. Arkiverad från originalet 15 februari 2012. (obestämd)

Litteratur

Gel'fand I. M., Glagoleva E. G., Kirillov A. A. Metod för koordinater. (otillgänglig länk) Femte upplagan, stereotyp. Serie: Fysik- och matematikskolans bibliotek. Matte. Nummer 1. M.: Nauka, 1973, s. 47-50.

Länkar

Program för att rita grafer i Curlie Link Directory (dmoz)

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Stor norsk Britannica (online) Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	GND : 4323692-3

Koordinatsystem
Namn på koordinater	Abskissa Ordinera Applikation
Typer av koordinatsystem	Rättlinjigt koordinatsystem Krökt koordinatsystem
2D-koordinater	Biangulära koordinater Bicentriska koordinater Hyperboliska koordinater Polära koordinater Bipolära koordinater Paraboliska koordinater Elliptiska koordinater Tetracykliska koordinater Trilinjära koordinater
3D-koordinater	Cylindriska koordinater Sfäriska koordinater Bisfäriska koordinater Toroidformade koordinater Cylindriska paraboliska koordinater Bicylindriska koordinater Ellipsoidala koordinater Koniska koordinater Pentasfäriska koordinater Dipolärt koordinatsystem
$n$ -dimensionella koordinater	kartesiska koordinater Affina koordinater Projektiva koordinater Plücker-koordinater barycentriska koordinater
Fysiska koordinater	Rindler koordinater Födda koordinater Himmelskt koordinatsystem Geografiska koordinater Huvudortodromt koordinatsystem
Relaterade definitioner	Koordinatmetod Ursprung Koordinataxel Vektor Orth referenssystem Benchmark Lama koefficienter Metrisk tensor