Paraboliskt koordinatsystem

Paraboliska koordinater är ett ortogonalt koordinatsystem i ett plan där koordinatlinjerna är konfokala paraboler . En tredimensionell version av detta koordinatsystem erhålls genom att rotera paraboler runt sin symmetriaxel.

Paraboliska koordinater har funnit många tillämpningar inom matematisk fysik, särskilt i teorin om Stark-effekten och problemet med potentialen nära en vinkel.

Tvådimensionella paraboliska koordinater

Tvådimensionella paraboliska koordinater definieras av uttrycken $(\sigma ,\;\tau )$

$\left\{{\begin{matrix}x=\sigma \tau \\y={\frac {1}{2}}(\tau ^{2}-\sigma ^{2})\end {matris}}\höger.$

Konstanta ytor är konfokala paraboler $\sigma$

2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}

expanderar uppåt (längs strålen ), och konstantens ytor är konfokala paraboler $+y$ $\tau$

2y=-{\frac {x^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}

expanderar nedåt (längs balken ). Fokus för alla paraboler är belägna vid ursprunget. $-y$

Differentiella egenskaper hos tvådimensionella koordinater

Lame-koefficienterna för paraboliska koordinater är

H_{\sigma }=H_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2))}.

Så arealementet är

dS=(\sigma ^{2}+\tau ^{2})\,d\sigma \,d\tau ,

och Laplacian är

\Delta \Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \ sigma ^{2))}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2))}\right).

Andra differentialoperatorer kan hittas på liknande sätt genom att ersätta Lamé-koefficienterna i motsvarande allmänna formel.

Tredimensionella paraboliska koordinater

Baserat på tvådimensionella paraboliska koordinater konstrueras två typer av tredimensionella koordinater. De förra erhålls genom enkel projektion på ett plan längs en axel och kallas cylindriska paraboliska koordinater . $XY$ $z$

Det andra koordinatsystemet, även kallat "paraboliska koordinater", är byggt på basis av rotationsparaboloider, erhållna genom att rotera paraboler runt sin symmetriaxel

{\begin{cases}x=\sigma \tau \cos \varphi ,\\y=\sigma \tau \sin \varphi ,\\z={\dfrac {1}{2))(\tau ^{2}-\sigma ^{2}).\end{cases}}

Paraboloidernas axel sammanfaller med axeln , eftersom rotation utförs runt den. Azimutvinkeln definieras som $z$ $\varphi$

\mathrm {tg} \,\varphi ={\frac {y}{x)).

Konstanta ytor är konfokala paraboloider $\sigma$

2z={\frac {x^{2}+y^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}

riktad uppåt (längs strålen ), och konstantens ytor är konfokala paraboloider $+z$ $\tau$

2z=-{\frac {x^{2}+y^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}

riktad nedåt (längs strålen ). Fokus för alla paraboloider är belägna vid ursprunget. $-z$

Differentiella egenskaper hos tredimensionella koordinater

Lama koefficienter i det tredimensionella fallet:

H_{\sigma }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2))},

H_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}},

H_{\varphi }=\sigma \tau .

Som kan ses, koefficienterna och sammanfaller med det tvådimensionella fallet. Volymelementet är ${\displaystyle H_{\sigma ))$ ${\displaystyle H_{\tau ))$

dV=h_{\sigma }h_{\tau }h_{\varphi }=\sigma \tau (\sigma ^{2}+\tau ^{2})\,d\sigma \,d\tau \,d\varphi ,

och Laplacian är

\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2))}\left[{\frac {1}{\sigma }}{\ frac {\partial }{\partial \sigma }}\left(\sigma {\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\frac {1}{\tau }}{\ frac {\partial }{\partial \tau }}\left(\tau {\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right]+{\frac {1}{\sigma ^ {2}\tau ^{2))}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \varphi ^{2))}.

Andra differentialoperatorer såsom divergens eller curl kan hittas på liknande sätt genom att ersätta Lame-koefficienterna i motsvarande allmänna formel.

Christoffel-symboler av det andra slaget:

\Gamma _{11}^{1}=\Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{21}^{2}=-\Gamma _{22}^{1}={\ frac {\sigma }{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}},

\Gamma _{22}^{2}=\Gamma _{12}^{1}=\Gamma _{21}^{1}=-\Gamma _{11}^{2}={\ frac {\tau }{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}},

\Gamma _{23}^{3}=\Gamma _{32}^{3}={\frac {1}{\tau )),\ \Gamma _{33}^{1}=- {\frac {\sigma \tau ^{2}}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}},\ \Gamma _{33}^{2}=-{\frac {\sigma ^ {2}\tau }{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}},\ \Gamma _{13}^{3}=\Gamma _{31}^{3}={\frac { 1}{\sigma )}.

Resten av karaktärerna är noll.

Inversa transformationer

Övergången från kartesiska till paraboliska koordinater utförs enligt formlerna: $(x,\;y,\;z)$ $(\eta ,\;\xi ,\;\varphi )$

{\begin{cases}\eta =-z+{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\\\xi =z+{\sqrt {x^ {2}+y^{2}+z^{2}}},\\\varphi =\mathrm {arctg} {\dfrac {y}{x}},\end{cases}}

vart i $\eta \geqslant 0,\quad \xi \geqslant 0.$

{\begin{vmatrix}d\eta \\d\xi \\d\varphi \end{vmatrix))={\begin{vmatrix}{\dfrac {x}{\sqrt {x^{2} +y^{2}+z^{2))))&{\dfrac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2))))&-1+ {\dfrac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2))))\\{\dfrac {x}{\sqrt {x^{2}+y^ {2}+z^{2))))&{\dfrac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2))))&1+{\dfrac {z} {\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2))))\\{\dfrac {-y}{x^{2}+y^{2))}&{\ dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}dx\\dy\\dz\end{vmatrix}}.

Vid får vi begränsningen av koordinater till planet : $\varphi=0$ $XZ$

\eta =-z+{\sqrt {x^{2}+z^{2}}},

\xi =z+{\sqrt {x^{2}+z^{2}}}.

Nivålinje : $\eta =c$

z|_{\eta =c}={\frac {x^{2}}{2c}}-{\frac {c}{2}}.

Detta är en parabel , vars fokus, för alla , ligger vid ursprunget. $c$

Likaså när vi får $\xi =c$

z|_{\xi =c}={\frac {c}{2}}-{\frac {x^{2}}{2c}}.

Koordinatparaboler skär varandra i en punkt

P:\left({\sqrt {bc)),\;{\frac {bc}{2}}\right).

Ett par paraboler skär vid två punkter, men för , Punkten finns i halvplanet , eftersom det motsvarar . $\varphi=0$ $x>0$ $x<0$ $\varphi=\pi$

Hitta lutningarna för tangenterna till parabolerna vid punkten : $P$

{\frac {dz_{c}}{dx}}={\frac {x}{c}}={\frac {\sqrt {bc}}{c}}={\sqrt {\frac { b}{c}}}=s_{c},

{\frac {dz_{b}}{dx}}=-{\frac {x}{b}}={\frac {-{\sqrt {bc}}}{b}}=-{\ sqrt {\frac {c}{b}}}=s_{b};

s_{c}s_{b}=-{\sqrt {\frac {b}{c))}{\sqrt {\frac {c}{b))}=-1.

Eftersom produkten av koefficienterna är −1 är parabolerna vinkelräta i skärningspunkten. Således visar sig de paraboliska koordinaterna vara ortogonala.

Paret bestämmer koordinaterna i halvplanet. När man byter från 0 till att halvplanet roterar runt axeln erhålls rotationsparaboloider och halvplan som koordinatytor. Ett par motsatta paraboloider definierar en cirkel, och en magnitud definierar ett halvplan som skär cirkeln i en enda punkt. Dess kartesiska koordinater är: $(\xi ;\;\eta )$ $\varphi$ $2\pi$ $z$ $\varphi$

{\begin{cases}x={\sqrt {\xi \eta }}\cos \varphi ,\\y={\sqrt {\xi \eta }}\sin \varphi ,\\z={ \dfrac {1}{2}}(\xi -\eta ).\end{cases}}

{\begin{vmatrix}dx\\dy\\dz\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\dfrac {1}{2}}{\sqrt {\dfrac {\xi }{ \eta ))}\cos \varphi &{\dfrac {1}{2}}{\sqrt {\dfrac {\eta }{\xi }}}\cos \varphi &-{\sqrt {\xi \eta }}\sin \varphi \\{\dfrac {1}{2}}{\sqrt {\dfrac {\xi }{\eta }}}\sin \varphi &{\dfrac {1}{2}}{ \sqrt {\dfrac {\eta }{\xi }}}\sin \varphi &{\sqrt {\xi \eta }}\cos \varphi \\-{\dfrac {1}{2}}&{\ dfrac {1}{2}}&0\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}d\eta \\d\xi \\d\varphi \end{vmatrix}}.

Externa länkar

Weisstein, Eric W. Parabolic Coordinates (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .

Koordinatsystem
Namn på koordinater	Abskissa Ordinera Applikation
Typer av koordinatsystem	Rättlinjigt koordinatsystem Krökt koordinatsystem
2D-koordinater	Biangulära koordinater Bicentriska koordinater Hyperboliska koordinater Polära koordinater Bipolära koordinater Paraboliska koordinater Elliptiska koordinater Tetracykliska koordinater Trilinjära koordinater
3D-koordinater	Cylindriska koordinater Sfäriska koordinater Bisfäriska koordinater Toroidformade koordinater Cylindriska paraboliska koordinater Bicylindriska koordinater Ellipsoidala koordinater Koniska koordinater Pentasfäriska koordinater Dipolärt koordinatsystem
$n$ -dimensionella koordinater	kartesiska koordinater Affina koordinater Projektiva koordinater Plücker-koordinater barycentriska koordinater
Fysiska koordinater	Rindler koordinater Födda koordinater Himmelskt koordinatsystem Geografiska koordinater Huvudortodromt koordinatsystem
Relaterade definitioner	Koordinatmetod Ursprung Koordinataxel Vektor Orth referenssystem Benchmark Lama koefficienter Metrisk tensor