Elliptiskt koordinatsystem

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 4 februari 2018; verifiering kräver 1 redigering .

Elliptiska koordinater är ett tvådimensionellt ortogonalt koordinatsystem där koordinatlinjerna är konfokala ellipser och hyperboler . För två fokuserar och tas vanligtvis punkter och på axlarna i det kartesiska koordinatsystemet . $F_{1}$ $F_{2}$ $-c$ $+c$ $X$

Grundläggande definition

Elliptiska koordinater definieras vanligtvis av regeln: $(\mu ,\;\nu )$

\left\{{\begin{matrix}x=c\,\mathrm {ch} \,\mu \cos \nu \\y=c\,\mathrm {sh} \,\mu \sin \ nu \end{matris}}\right.

var , . $\mu \geqslant 0$ $\nu \i [0,\;2\pi )$

Detta definierar en familj av konfokala ellipser och hyperboler. Trigonometrisk identitet

{\frac {x^{2}}{c^{2}\,\mathrm {ch} ^{2}\,\mu }}+{\frac {y^{2}}{c^ {2}\,\mathrm {sh} ^{2}\,\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1

visar att nivålinjer är ellipser och en identitet från hyperbolisk geometri $\mu$

{\frac {x^{2}}{c^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {y^{2}}{c^{2}\sin ^{ 2}\nu }}=\mathrm {ch} ^{2}\,\mu -\mathrm {sh} ^{2}\,\mu =1

visar att nivålinjerna är hyperboler . $\nu$

Lama koefficienter

Lame-koefficienterna för elliptiska koordinater är $(\mu ,\;\nu )$

H_{\mu }=H_{\nu}=c{\sqrt {(\mathrm {ch} \,\mu \,\sin \,\nu )^{2}+(\mathrm {sh} \,\mu \,\cos \,\nu )^{2}}}=c{\sqrt {\mathrm {sh} ^{2}\,\mu +\sin ^{2}\nu }}.

Identiteterna för dubbelvinkeln tillåter oss att föra dem till formen

H_{\mu }=H_{\nu }=c{\sqrt {{\frac {1}{2}}(\mathrm {ch} \,2\mu -\cos 2\nu }}) .

Arealementet är:

dS=c^{2}(\mathrm {sh} ^{2}\,\mu +\sin ^{2}\nu)\,d\mu \,d\nu,

och Laplacian är

\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{c^{2}(\mathrm {sh} ^{2}\,\mu +\sin ^{2}\nu ))) \left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2))}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2} }}\höger).

Andra differentialoperatorer kan erhållas genom att ersätta Lamé-koefficienterna i allmänna formler för ortogonala koordinater. Till exempel skrivs gradienten för ett skalärt fält : $\Phi (\mu ,\;\nu )$

\mathrm {grad} \,\Phi ={\frac {1}{H_{\mu }}}{\frac {\partial \Phi}{\partial \mu }}\mathbf {e} _{ \mu }+{\frac {1}{H_{\nu }}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\mathbf {e} _{\nu},

var

\mathbf {e} _{\mu }=c(\mathrm {sh} \,\mu \cos \nu ,\,\mathrm {ch} \,\mu \sin \nu )

\mathbf {e} _{\nu }=c(-\mathrm {ch} \,\mu \sin \nu ,\,\mathrm {sh} \,\mu \cos \nu )

Annan definition

Ibland används en annan mer geometriskt intuitiv definition av elliptiska koordinater : $(\sigma ,\;\tau )$

\left\{{\begin{matrix}\sigma =\mathrm {ch} \,\mu \\\tau =\cos \nu \end{matrix}}\right.

Så nivålinjer är ellipser och nivålinjer är hyperboler. Vart i $\sigma$ $\tau$

\tau \in [-1,\;1],\quad \sigma \geqslant 1.

Koordinaterna har ett enkelt förhållande till avstånden till brännpunkterna och . För vilken punkt som helst på planet $(\sigma ,\;\tau )$ $F_{1}$ $F_{2}$

\left\{{\begin{matrix}d_{1}+d_{2}=2c\sigma \\d_{1}-d_{2}=2c\tau \end{matrix}}\right.

var är avstånden till foci respektive. $d_{1},\;d_{2}$ $F_{1},\;F_{2}$

På det här sättet:

\left\{{\begin{matrix}d_{1}=c(\sigma +\tau )\\d_{2}=c(\sigma -\tau )\end{matrix}}\right.

Kom ihåg att och är belägna på punkterna och respektive. $F_{1}$ $F_{2}$ $x=-c$ $x=+c$

Nackdelen med detta koordinatsystem är att det inte mappar en-till-en till kartesiska koordinater:

\left\{{\begin{matrix}x=c\sigma \tau \\y^{2}=c^{2}(\sigma ^{2}-1)(1-\tau ^{ 2})\end{matris}}\right.

Lama koefficienter

Lame-koefficienterna för alternativa elliptiska koordinater är: $(\sigma ,\;\tau )$

h_{\sigma }=c{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2)){\sigma ^{2}-1))};

h_{\tau }=c{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}.

Arealementet är

dA=c^{2}{\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2)){\sqrt {(\sigma ^{2}-1)(1-\tau ^{2) })}}}\,d\sigma \,d\tau ,

och Laplacian är

\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{c^{2}(\sigma ^{2}-\tau ^{2})))\left[{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial \Phi }{\ partial \sigma }}\right)+{\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\sqrt {1-\tau ^{ 2))}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right].

Andra differentialoperatorer kan erhållas genom att ersätta Lamé-koefficienterna i allmänna formler för ortogonala koordinater.

Litteratur

Korn G., Korn T. Handbok i matematik (för vetenskapsmän och ingenjörer). - M. : Nauka, 1974. - 832 sid.

Se även

Apollonius omkrets

Koordinatsystem
Namn på koordinater	Abskissa Ordinera Applikation
Typer av koordinatsystem	Rättlinjigt koordinatsystem Krökt koordinatsystem
2D-koordinater	Biangulära koordinater Bicentriska koordinater Hyperboliska koordinater Polära koordinater Bipolära koordinater Paraboliska koordinater Elliptiska koordinater Tetracykliska koordinater Trilinjära koordinater
3D-koordinater	Cylindriska koordinater Sfäriska koordinater Bisfäriska koordinater Toroidformade koordinater Cylindriska paraboliska koordinater Bicylindriska koordinater Ellipsoidala koordinater Koniska koordinater Pentasfäriska koordinater Dipolärt koordinatsystem
$n$ -dimensionella koordinater	kartesiska koordinater Affina koordinater Projektiva koordinater Plücker-koordinater barycentriska koordinater
Fysiska koordinater	Rindler koordinater Födda koordinater Himmelskt koordinatsystem Geografiska koordinater Huvudortodromt koordinatsystem
Relaterade definitioner	Koordinatmetod Ursprung Koordinataxel Vektor Orth referenssystem Benchmark Lama koefficienter Metrisk tensor