Födda koordinater

Födda koordinater i speciell relativitet är ett koordinatsystem som används för att beskriva en roterande cirkel eller (mer allmänt) en skiva .

Cirkelrotation i speciell relativitetsteori

I en fast referensram beskrivs cirkeln med två koordinater , där måtten har formen: $(T,\,\Phi)$

ds^{2}=dT^{2}-R^{2}\,d\Phi ^{2}

( är cirkelns radie, ljusets hastighet antas vara lika med enhet ). $R$

Rotationen av en cirkel beskrivs med formeln

\Phi =\varphi +\omega T

där är vinkelkoordinaten i rymden, är positionen för en punkt på cirkeln, är den cirkulära frekvensen och T är tiden för den fasta referensramen . $\Phi$ $\varphi$ $\omega$

Om vi betraktar en punkt i cirkeln (det vill säga vi fixar ), kommer dess världslinje att vara en helix . Den korrekta tiden för cirkelns punkter definieras som $\varphi$

{\sqrt {1-\omega ^{2}R^{2))}\ T.

Born-koordinaterna på en cirkel är ett koordinatsystem . Dessa två koordinater är inte ortogonala. $(T,\;\varphi )$

Mätvärdet kommer att se ut

ds^{2}=\left(1-\omega ^{2}\,R^{2}\höger)\,dT^{2}-2\,\omega \,R^{2}\,dT \,d\varphi -R^{2}\,d\varphi ^{2}.

Diskrotation i speciell relativitet

Om vi betraktar en enhetligt roterande, som en helhet, skiva (det vill säga en cirkel ), så läggs en tredje koordinat till :. $r$

Ändå är det konstant. $\omega$

I det här fallet kommer multiplikatorerna att bero på radien . $r$

Mätvärdet kommer att se ut

ds^{2}=\left(1-\omega ^{2}\,r^{2}\höger)\,dT^{2}-2\,\omega \,r^{2}\,dT \,d\varphi -dr^{2}-r^{2}\,d\varphi ^{2}.

Figuren visar hur, när den linjära rotationshastigheten ökar och närmar sig ljussystemet med två koordinater , blir den mindre och mindre som en ortogonal. $r$ $(T,\;\varphi )$

Ljushastigheten i förhållande till "tid" minskar under rotationen, och ökar mot rotationen. $T$

Naturligtvis kan skivans radie inte överstiga , för på detta avstånd från rotationsaxeln accelererar vår roterande referensram till ljusets hastighet. ${\frac c\omega }$

Bestämning av avstånd och tider

Problem med roterande koordinater

Den roterande referensramen är inte trög och orsakar många problem även när den ses ytligt.

Som visades är två koordinater inte ortogonala ens på samma cirkel, och detta är en oåterkallelig nackdel - om vi synkroniserar tiden längs hela cirkeln samtidigt med ljusets hastighet, kommer referenssystemet inte att rotera, och om vi vägrar , synkroniserar tiden endast på en del av cirkeln, då en enda tidskoordinat "håller inte ihop" [1] . På disken är situationen ännu värre - klockorna synkroniseras inte ens lokalt (se Sagnac-effekten ). $(T,\;\varphi )$ $T$

Dessutom, när man beräknar korrekt tid, måste koordinaten multipliceras med en koefficient som inte längre är konstant (som på en cirkel), utan en variabel som beror på . Skivan, även om den förblir solid, har en annan tidshastighet beroende på avståndet till rotationsaxeln. $T$ $r$

På grund av problem med tiden är det inte helt klart hur man bestämmer avståndet - vissa definitioner leder inte till en symmetrisk funktion av avståndet mellan två punkter på skivan. Och utan att veta avstånden kan vi inte kontrollera att skivan roterar som en stel kropp.

Langevin - Landau-Lifshitz- metriken

Det visar sig dock vara möjligt att korrekt definiera avståndet på en roterande skiva i betydelsen av en Riemannisk metrik .

Det vill säga den naturliga geometrin hos en roterande skiva är inte euklidisk.

Se även

Rindler koordinater

Anteckningar

↑ Strängt taget följer det att vi inte kan perfekt synkronisera klockor ens på hela jordens yta , när planeten roterar. Effekten av skillnaden i ljusets hastighet från öst till väst och från väst till öst i förhållande till jordtiden bekräftas av ultraexakta mätningar.

Litteratur

Landau L. D. , Lifshits E. M. Fältteori . - 4:e upplagan, reviderad och förstorad. — M .: Fizmatgiz , 1962. — 424 sid. - (" Teoretisk fysik ", volym II).