Konfokala koniska sektioner

Konfokala koniska sektioner - i geometrin , koniska sektioner som har samma brännpunkter . Eftersom ellipser och hyperboler har två foci, finns det konfokala ellipser och konfokala hyperboler , och en ellips och hyperboler kan vara konfokala till varandra. I fallet när en familj av ellipser är konfokal till en familj av hyperboler, skär varje ellips ortogonalt varje hyperbel. Paraboler har bara ett fokus, så överväg konfokala de paraboler som har ett gemensamt fokus och samma symmetriaxel. Därför ligger vilken punkt som helst utanför symmetriaxeln på två konfokala paraboler som skär varandra i räta vinklar.

Begreppet konfokala koniska sektioner kan generaliseras till tredimensionellt utrymme genom att överväga konfokala kvadriker .

Konfokala ellipser

En ellips som inte är en cirkel bestäms unikt av positionen för brännpunkterna och en punkt utanför huvudaxeln. En bunt konfokala ellipser med foci kan beskrivas med ekvationen ${\displaystyle F_{1},\;F_{2))$ $F_{1}=(c,0),\;F_{2}=(-c,0)$

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}=1\ , \quad a>c\ ,$

där halvstoraxeln är en parameter (brännvidden bestäms unikt av brännpunkternas placering). Eftersom en punkt på en ellips unikt definierar värdet på , då $a$ $c$ $a$

inga två ellipser i pennan har gemensamma punkter.

Konfokala hyperboler

En hyperbel bestäms unikt av brännpunkternas position och en punkt utanför symmetriaxlarna. En bunt konfokala hyperboler med foci kan beskrivas med ekvationen ${\displaystyle F_{1},\;F_{2))$ $F_{1}=(c,0),\;F_{2}=(-c,0)$

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{c^{2}-a^{2}}}=1\ , \quad 0<a<c\ ,$

där halvstoraxeln är en parameter (brännvidden bestäms unikt av brännpunkternas placering). Eftersom en punkt på en hyperbel unikt definierar värdet på , alltså $a$ $c$ $a$

inga två hyperboler i en penna har gemensamma punkter.

Konfokala ellipser och hyperboler

Ekvationen

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}=1$

beskriver en ellips vid och en hyperbel vid . $c<a$ $0<a<c$

I litteraturen kan du hitta en annan version av presentationen:

${\frac {x^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-\lambda }}=1\ ,$

var är halvaxlarna för den givna ellipsen (då ges även brännpunkterna) och är en strålparameter. För , vi får konfokala ellipser (dvs ) och för , vi får konfokala hyperboler med foci . $a,b$ ${\displaystyle F_{1},\;F_{2))$ $\lambda$
$\lambda <b^{2}$ ${\displaystyle a^{2}-\lambda -(b^{2}-\lambda )=c^{2))$
$b^{2}<\lambda <a^{2}$ ${\displaystyle F_{1},\;F_{2))$

Övervägande av buntar av konfokala ellipser och hyperboler leder till följande slutsats om tangenten och normalen vid en given punkt (normalen till ellipsen och tangenten till hyperbeln delar vinkeln mellan riktningarna från punkten till brännpunkterna):

varje ellips i bunten skär varje hyperbel i rät vinkel (se figur).

Således är det möjligt att täcka planet med ett ortogonalt system av konfokala ellipser och hyperboler. Ett sådant ortogonalt rutnät kan användas som grund för ett elliptiskt koordinatsystem .

Konfokala paraboler

Paraboler har bara ett fokus. Man kan betrakta en parabel som gränsen för ett knippe av konfokala ellipser eller hyperboler, där ett fokus är fixerat och det andra är borttaget till oändlighet. Om ett liknande övervägande görs för konfokala ellipser och hyperbler, kan man få ett system med två pennor av konfokala paraboler.

Ekvationen beskriver en parabel med origo i fokus, där x -axeln är symmetriaxeln. Tänk på två buntar av paraboler: $y^{2}=2p(x+p/2)=2px+p^{2}$

$y^{2}=2px+p^{2}\ ,\quad p>0\ ,$ paraboler, oändliga till höger,

y^{2}=-2qx+q^{2}\ ,\quad q>0\ ,

paraboler, oändliga till vänster, fokus delas.

F=(0,0)

Av parabelekvationen följer att

paraboler som sträcker sig i en riktning har inte gemensamma punkter.

Det visar beräkningar

varje parabel som sträcker sig åt höger skär varje parabel som sträcker sig åt vänster ortogonalt. Skärningspunkter har koordinater . $y^{2}=2px+p^{2}$ $y^{2}=-2qx+q^{2}$ $({\tfrac {qp}{2)),\pm {\sqrt {pq)))\$

Vektorerna ( är normalvektorerna vid skärningspunkterna. Skalärprodukten av dessa vektorer är lika med noll. ${\vec {n}}_{1}=\left(p,\mp {\sqrt {pq}}\right)^{T},\ {\vec {n}}_{2}= \left(q,\pm {\sqrt {pq}}\right)^{T})$

I analogi med konfokala ellipser och hyperboler kan planet täckas med ett ortogonalt rutnät av paraboler.

Graves teorem om konstruktionen av konfokala ellipser

År 1850 bevisade och publicerade den irländska biskopen Charles Graves följande metod för att konstruera konfokala ellipser med hjälp av en tråd: [1]

om vi omger en given ellips E med en ring av en tråd som är längre än konturen av en given ellips, ritar vi en ny ellips med hjälp av "nålarna" fixerade i brännpunkter (se konstruktionen av en ellips ), medan den nya ellipsen kommer att vara konfokal med E. Beviset för detta påstående kräver användning av elliptiska integraler . Otto Staude generaliserade denna metod för att konstruera konfokala ellipsoider.

Om ellipsen E är ett segment , kommer ellipserna konfokala till det att ha foci . $F_{1}F_{2}$ ${\displaystyle F_{1},F_{2))$

Konfokala ytor av andra ordningen

Begreppet andra ordningens konfokala ytor är en formell generalisering av begreppet konfokala koniska sektioner till tredimensionellt rum.

Vi väljer tre reella tal under villkoret . Ekvationen $a,b,c$ $a>b>c>0$

${\frac {x^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-\lambda }}=1$ beskriver

ellipsoid vid,

\lambda <c^{2}

enarkshyperboloid vid (blå yta i figuren) ,

{\displaystyle c^{2}<\lambda <b^{2))

tvåarkshyperboloid vid .

b^{2}<\lambda <a^{2}

När det inte finns några lösningar

a^{2}<\lambda

(I detta sammanhang är parametern inte ellipsoidens brännvidd). $c$

På samma sätt som fallet med konfokala ellipser/hyperboler har vi följande egenskaper:

vilken punkt som helst ligger på endast en yta av var och en av de tre typerna av konfokala kvadriker; $(x_{0},y_{0},z_{0})\in \mathbb {R} ^{3}$ $x_{0}\neq 0,\;y_{0}\neq 0,\;z_{0}\neq 0$

tre andra ordningens ytor som passerar genom en punkt skär ortogonalt

(x_{0},y_{0},z_{0})

Bevis på existensen och unikheten hos tre kvadriker som passerar genom en given punkt: för en punkt vid , överväg funktionen $(x_{0},y_{0},z_{0})$ $x_{0}\neq 0,y_{0}\neq 0,z_{0}\neq 0$

f(\lambda )={\frac {x_{0}^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y_{0}^{2}}{b^ {2}-\lambda }}+{\frac {z_{0}^{2}}{c^{2}-\lambda }}-1

Denna funktion har tre vertikala asymptoter och är kontinuerligt och monotont ökande i alla intervaller . En analys av funktionens beteende nära de vertikala asymptoterna och vid leder till slutsatsen att den har tre rötter vid $c^{2}<b^{2}<a^{2}$ $(-\infty ,c^{2}),\;(c^{2},b^{2}),\;(b^{2},a^{2}),\;( a^{2},\infty )$ $\lambda \to \pm \infty$ $f$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3))$ ${\color {red}\lambda _{1}}<c^{2}<{\color {red}\lambda _{2}}<b^{2}<{\color {red}\ lambda _{3}}<a^{2}\ .$

Bevis på ortogonalitet av ytor: överväg skivor av funktioner med parameter . Konfokala kvadriker kan beskrivas av relationen . För två korsande kvadricker vid en gemensam punkt , är likheten $F_{\lambda }(x,y,z)={\frac {x^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b ^{2}-\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-\lambda }}$ $\lambda$ $F_{\lambda }(x,y,z)=1$ $F_{\lambda _{i}}(x,y,z)=1,\;F_{\lambda _{k}}(x,y,z)=1$ $(x,y,z)$

0=F_{\lambda _{i}}(x,y,z)-F_{\lambda _{k}}(x,y,z)=\dotsb =(\lambda _{i}- \lambda _{k})\left({\frac {x^{2}}{(a^{2}-\lambda _{i})(a^{2}-\lambda _{k})} }+{\frac {y^{2}}{(b^{2}-\lambda _{i})(b^{2}-\lambda _{k)))))+{\frac {z ^ {2}}{(c^{2}-\lambda _{i})(c^{2}-\lambda _{k})}}\right)\ .

Därav den skalära produkten av gradienter vid en gemensam punkt

\operatorname {grad} F_{\lambda _{i}}\cdot \operatorname {grad} F_{\lambda _{k}}=4\;\left({\frac {x^{2}} {(a^{2}-\lambda _{i})(a^{2}-\lambda _{k})}}+{\frac {y^{2}}{(b^{2}- \lambda _{i})(b^{2}-\lambda _{k})}}+{\frac {z^{2}}{(c^{2}-\lambda _{i})( c^{2}-\lambda _{k})}}\right)=0\ ,

vilket bevisar ortogonalitet.

Ansökningar. Genom Ch. Dupins
teorem om ortogonala ytsystem är följande påståenden sanna:

skärningslinjen mellan två konfokala ytor av andra ordningen är krökningslinjen ;
i analogi med elliptiska koordinater kan ellipsoidala koordinater införas .

Inom fysiken är konfokala ellipsoider ekvipotentiella ytor:

en laddad ellipsoids ekvipotentiella ytor är konfokala till den givna ellipsoiden. [2]

Elfenbens teorem

Elfenbens teorem , uppkallad efter den skotske matematikern James Ivory (1765–1842), är ett påstående om diagonalerna på en fyrhörning som bildas av ortogonala kurvor.

I vilken fyrhörning som helst som bildas av två konfokala ellipser och två konfokala hyperboler med samma härdar är diagonalerna lika långa.

Skärningspunkter för en ellips och en konfokal hyperbel
Låta vara en ellips med foci som ges av ekvationen $E(a)$ $F_{1}=(c,0),\;F_{2}=(-c,0)$

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}=1\ , \quad a>c>0,\

a är en konfokal hyperbel med ekvationen $H(u)$

{\frac {x^{2}}{u^{2}}}+{\frac {y^{2}}{u^{2}-c^{2}}}=1\ , \quad c>u\ .

Beräkna skärningspunkterna och ange koordinaterna för de fyra punkterna $E(a)$ $H(u)$

$\left(\pm {\frac {au}{c)),\;\pm {\frac {\sqrt {(a^{2}-c^{2})(c^{2}- u^{2})}}{c}}\höger).$

Diagonaler för en fyrhörning
För att förenkla beräkningarna, anta att

$c=1$ , vilket inte är en betydande begränsning, eftersom skalning är möjlig;
när vi väljer en skylt (se avsnittet om korsningspunkter) kommer vi endast att överväga . Det är lätt att visa att att välja ett annat tecken leder till samma resultat. $\pm$ $+$

Låta vara konfokala ellipser och vara konfokala hyperboler med samma foci. Diagonaler av en fyrhörning som bildas av skärningspunkter med koordinater $E(a_{1}),E(a_{2})$ $H(u_{1}),H(u_{2})$

P_{11}=\left(a_{1}u_{1},\;{\sqrt {(a_{1}^{2}-1)(1-u_{1}^{2}) }}\right)\ ,\quad P_{22}=\left(a_{2}u_{2},\;{\sqrt {(a_{2}^{2}-1)(1-u_{2} }^{2})}}\right)\ ,

P_{12}=\left(a_{1}u_{2},\;{\sqrt {(a_{1}^{2}-1)(1-u_{2}^{2}) }}\right)\ ,\quad P_{21}=\left(a_{2}u_{1},\;{\sqrt {(a_{2}^{2}-1)(1-u_{1) }^{2})}}\right)

har längder

{\begin{aligned}|P_{11}P_{22}|^{2}&=(a_{2}u_{2}-a_{1}u_{1})^{2}+\ vänster({\sqrt {(a_{2}^{2}-1)(1-u_{2}^{2})}}-{\sqrt {(a_{1}^{2}-1)( 1-u_{1}^{2})}}\right)^{2}=\dotsb \\&=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+u_{1}^ {2}+u_{2}^{2}-2\,\left(1+a_{1}a_{2}u_{1}u_{2}+{\sqrt {(a_{1}^{2} }-1)(a_{2}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})(1-u_{2}^{2})}}\right)\end{aligned} }

Det sista uttrycket är invariant med avseende på ersättningen . Ett sådant byte leder till ett uttryck för längden . Därför jämställdheten ${\displaystyle u_{1}\leftrightarrow u_{2))$ $|P_{1\color {red}2}P_{2\color {red}1}|^{2}$

$|P_{11}P_{22}|=|P_{12}P_{21}|$

Beviset för påståendet för konfokala paraboler är en enkel beräkning.

Ivory bevisade också ett teorem för det tredimensionella fallet:

i en tredimensionell rektangulär parallellepiped bildad av konfokala kvadriker, har diagonalerna som förbinder motsatta punkter lika långa.

Anteckningar

↑ Felix Klein: Vorlesungen über Höhere Geometrie , Sringer-Verlag, Berlin, 1926, S.32.
↑ D. Fuchs, S. Tabachnikov: Ein Schaubild der Mathematik. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-12959-9 , sid. 480.

Litteratur

W. Blaschke : Analytische Geometrie. Springer, Basel 1954, ISBN 978-3-0348-6813-6 , sid. 111.
G. Glaeser, H. Stachel, B. Odehnal: The Universe of Conics: Från de antika grekerna till 2000-talets utveckling , Springer Spektrum, ISBN 978-3-662-45449-7 , sid. 457.
David Hilbert & Stephan Cohn-Vossen (1999), Geometry and Imagination , American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1998-4
Ernesto Pascal: Repertorium der höheren Mathematik. Teubner, Leipzig/Berlin 1910, sid. 257.
A. Robson: An Introduction to Analytical Geometry Vo. I, Cambridge, University Press, 1940, sid. 157.
DMY Sommerville: Analytical Geometry of Three Dimensions , Cambridge, University Press, 1959, sid. 235.

Länkar

T. Hofmann: Miniscript Differentialgeometrie I, sid. 48
B. Springborn: Kurven und Flächen , 12. Vorlesung: Konfokale Quadriken (S. 22 f.).
H. Walser: Konforme Abbildungen. sid. åtta.