Apollonius omkrets

Apollonius cirkel är platsen för punkter i planet, förhållandet mellan avstånden från vilka två givna punkter är ett konstant värde, inte lika med ett.

Bipolära koordinater är ett ortogonalt koordinatsystem på ett plan baserat på Apollonius cirklar.

Definition

Låt två poäng och ges på planet . Betrakta alla punkter i detta plan, för var och en av vilka förhållandet $A$ $B$ $P$

k={\frac {PA}{PB}}

är ett fast positivt tal. När dessa punkter fyller medianen vinkelrätt mot segmentet ; i andra fall är det angivna stället en cirkel som kallas Apollonius omkrets . $k=1$ $AB$

Anteckningar

Punkterna och kallas fokus för Apollonius cirkel. $A$ $B$

Egenskaper

Radien för Apollonius cirkel är $R={\frac {k}{|k^{2}-1|}}\cdot AB.$
Linjesegmentet mellan en punkt på en cirkel och skärningspunkten för en cirkel med en linje är halveringslinjen för själva vinkeln eller vinkeln intill den . $PC$ $AB$ $\angle APB$
Inversion kring Apollonius cirkel byter punkter och platser. $A$ $B$
Mitten av denna cirkel ligger på linjen som förbinder dessa två punkter.

Om bevis

Ett av bevisen bygger på egenskapen hos en triangels inre och yttre bisektris, nämligen att bisekturen delar den motsatta sidan i ett förhållande som är proportionellt mot sidorna intill den. [ett]
Det finns ett bevis baserat på inversionsegenskapen . [2]
Det finns också ett ganska enkelt bevis genom direkt beräkning i koordinater.

Applikationer

Används ofta i analys av konstruktioner med kompass och rätlina . I synnerhet är en av lösningarna på Brahmagupta-problemet baserad på konstruktionen av Apollonius-cirkeln.

Cirkeln av Apollonius finner tillämpning i att lösa rendezvous problemet på ett plan med hjälp av strategin för parallell rendezvous .

Se även

Elliptiska koordinater

Ser ut som definierade kurvor
- Hyperbola - en kurva med konstant skillnad i avstånd mellan härdar;
- Ellips är en kurva av konstant summa av avstånd mellan härdar;
- Cassini oval är en kurva av konstant produkt av avstånd mellan härdar.

Anteckningar

↑ § 228 , 1914 års upplaga av Kiselevs Elementary Geometry .
↑ §124 "Geometries" av A. Yu. Davidov .