Algebra Temperley-Liba

Algebra Temperley - Lieb - algebra , med hjälp av vilken några överföringsmatriser konstrueras. Upptäckt av Neville Temperleyoch Elliot Lieb . Algebra tillämpas i statistisk mekanik , i teorin om integrerbara modeller, är relevant för knutteori och flätgrupper , kvantgrupper och subfaktorer av von Neumann algebras .

Definition

Låta vara en kommutativ ring (oftast, fältet av reella tal ) där elementet är fixerat . Temperley-Lieb algebra kallas - en algebra bildad av generatorer som lyder Jones relationer : $R$ $\delta \in R$ $TL_{n}(\delta )$ $R$ ${\displaystyle U_{1},U_{2},\ldots ,U_{n-1))$

$U_{i}^{2}=\delta U_{i}$ på $1\leq i\leq n-1$
$U_{i}U_{i+1}U_{i}=U_{i}$ på $1\leq i\leq n-2$
$U_{i}U_{i-1}U_{i}=U_{i}$ på $2\leq i\leq n-1$
$U_{i}U_{j}=U_{j}U_{i}$ vid , sådan att $1\leq i,j\leq n-1$ $|ij|\neq 1$

$TL_{n}(\delta )$ kan representeras som ett vektorrum , med basvektorer, som var och en är ett diagram i form av en kvadrat, på två motsatta sidor av vilka det finns punkter. Punkterna bildar n par, varje par är förbundna med en kurva, och inga två kurvor skär varandra. De fem basvektorerna ser ut så här: $n$ $TL_{3}(\delta )$

Multiplikationen av två grundelement sker genom att koppla två kvadrater rumpa-till-rumpa, efter varje resulterande cykel ger en faktor δ . Till exempel,

× = = δ .

Enhetselementet är ett diagram med n horisontella linjer, och generatorn är ett diagram där den i -te vertexen är ansluten till i + 1 -th, 2n - i + 1 -th punkt - till 2n - i -th punkt, och alla andra punkter är förbundna med motsatser. Till exempel är generatorer : $U_{i}$ $TL_{5}(\delta )$

Från vänster till höger: identiskt element (ett) och generatorer U 1 , U 2 , U 3 , U 4 .

Jones-kvoterna kan representeras grafiskt:

= 5

Länkar

Louis H. Kauffman , State Models and the Jones Polynomial. Arkiverad 8 december 2019 på Wayback Machine Topology, 26(3):395-407, 1987.
RJ Baxter , Exakt lösta modeller inom statistisk mekanik Arkiverad 20 mars 2012 på Wayback Machine Academic Press Inc., 1982.
N. Temperley, E. Lieb , Relationer mellan perkolations- och färgningsproblemet och andra grafteoretiska problem förknippade med vanliga plana gitter: några exakta resultat för perkolationsproblemet. Proceedings of the Royal Society Series A 322 (1971), 251-280.