3d sfär

En tredimensionell sfär ( tredimensionell hypersfär , ibland 3-sfär ) är en sfär i fyrdimensionell rymd . Består av en uppsättning punkter på samma avstånd från en fast central punkt i det fyrdimensionella euklidiska rummet . Precis som en tvådimensionell sfär, som bildar gränsen för en sfär i tre dimensioner, har en 3-sfär tre dimensioner och är gränsen för en fyrdimensionell sfär.

Ekvation

I kartesiska koordinater kan en tredimensionell sfär med radie ges av ekvationen $(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})$ $r$

(x_{0}-C_{0})^{2}+(x_{1}-C_{1})^{2}+(x_{2}-C_{2})^{2} +(x_{3}-C_{3})^{2}=r^{2}.

Med tanke på det komplexa utrymmet som verkligt , kan sfärens ekvation ses som $\mathbb {C} ^{2}$ $\R^4$

S^{3}=\left\{(z_{1},z_{2})\in \mathbb {C} ^{2}:|z_{1}|^{2}+|z_{ 2}|^{2}=1\höger\}.

På liknande sätt, i quaternion rymden : $\mathbb {H} ^{1}$

S^{3}=\left\{q\in \mathbb {H} :\|q\|=1\right\}.

Eftersom en tredimensionell sfär är en tredimensionell sfär kan den definieras parametriskt med hjälp av tre koordinater. Ett exempel är hypersfäriska koordinater:

x_{0}=r\cos \psi ,

x_{1}=r\sin \psi \cos \theta ,

x_{2}=r\sin \psi \sin \theta \cos \phi ,

x_{3}=r\sin \psi \sin \theta \sin \phi .

Egenskaper

En tredimensionell sfär är gränsen för en fyrdimensionell sfär. $S^{3}$

En tredimensionell sfär är ett kompakt sammankopplat tredimensionellt grenrör . En tredimensionell sfär är helt enkelt ansluten , det vill säga vilken stängd kurva som helst på den kan kontinuerligt dras samman till en punkt.

En tredimensionell sfär är homeomorf till en enpunktskomprimering av ett tredimensionellt verkligt utrymme . $\mathbb {R} ^{3}$

Gruppstruktur

Eftersom den är en uppsättning enhetskvarternioner, ärver den tredimensionella sfären en gruppstruktur.

Sålunda är sfären en Lie-grupp . Bland dimensionella sfärer, endast och har denna egenskap . $S^{3}$ $n$ $S^{1}$ $S^{3}$

Med hjälp av matrisrepresentationen av kvaternioner kan man definiera en grupprepresentation med Pauli-matriser : $S^{3}$

x_{1}+x_{2}i+x_{3}j+x_{4}k\mapsto {\begin{pmatrix}\;\;\,x_{1}+ix_{2}&x_{ 3}+ix_{4}\\-x_{3}+ix_{4}&x_{1}-ix_{2}\end{pmatrix}}.

Därför är gruppen isomorf till matrisen Lie-gruppen . $S^{3}$ ${\mathrm {SU}}(2)$

Handlingen av gruppen U(1) och Hopf-fibrationen

Om du definierar en gruppåtgärd : $U(1)$

(z_{1},z_{2})\cdot \lambda =(z_{1}\lambda ,z_{2}\lambda )\quad \forall \lambda \in \mathbb {U} (1) ,

då är omloppsutrymmet homeomorft till den tvådimensionella sfären . I det här fallet uppstår en buntstruktur på sfären med en bas och lager som är homeomorfa , det vill säga cirklar . Denna bunt kallas Hopf-bunten . [ett] $S^{2}$ $S^{3}$ $S^{2}$ $U(1)$ $S^{1}$

Hopf-paketet är ett exempel på ett icke-trivialt huvudpaket. I koordinater ges det av formeln

p:(z_{1},z_{2})\mapsto (z_{1}:z_{2}).

Punkten ( z 1 , z 2 ) av sfären mappas till punkten [ z 1 : z 2 ] för den komplexa projektiva linjen CP 1 , som är diffeomorf till den tvådimensionella sfären . $S^{3}$ $S^{2}$

Homotopi grupper av sfären

Den enkla kopplingen av sfären innebär att den första homotopigruppen . Också noll är gruppen . $\pi _{1}(S^{3})=\{0\}$ $\pi _{2}(S^{3})=\{0\}$

Anteckningar

↑ Postnikov M. M. Föreläsningar om algebraisk topologi, sid. 20. - Moskva, Nauka, 1984.

Se även

Poincare gissningar

Litteratur

Fomenko A. T., Fuchs D. B. En kurs i homotopi topologi. - M. , 1989.

Länkar

Weisstein, Eric W. Hypersphere (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen . (eng.) Obs : Den här artikeln använder alternativa namnscheman för sfärer, där en sfär i N -dimensionell rymd kallas en N -sfär.