Projektiv linje

Den projektiva linjen är ett endimensionellt projektivt utrymme . En projektiv linje är en uppsättning linjer (endimensionella delrum) i ett 2-dimensionellt linjärt utrymme. Den projektiva linjens punkter kan ges med hjälp av homogena koordinater . Som ett topologiskt utrymme är den projektiva linjen enpunktskomprimeringen av den affina linjen . $[x_{1}:x_{2}]$

Exempel

En riktig projektiv linje med en penna av smidiga funktioner är ett jämnt grenrör . Detta grenrör är diffeomorft till en cirkel . Den komplexa projektiva linjen - Riemann-sfären - som en verklig mångfald, är diffeomorf till den tvådimensionella sfären . För ett skevt fält av quaternioner är den projektiva linjen, som ett verkligt grenrör, . ${\displaystyle \mathbb {R} P^{1}\cong S^{1))$ $\mathbb {C} P^{1}$ $S^{2}$ ${\displaystyle \mathbb {H} P^{1}\cong S^{4))$

Åtgärd av grupper på den projektiva linjen

För grupper etc. kan en åtgärd på den projektiva linjen definieras. Genom att faktorisera över gruppen av skalära matriser får vi grupper för vilka denna åtgärd är exakt. För ett ändligt fält är det isomorft till någon undergrupp av en ändlig symmetrisk grupp [1] . $GL_{2}(k),SL_{2}(k)$ $PGL_{2}(k),PSL_{2}(k)$ $PSL_{2}(k)$

I algebraisk geometri

Den projektiva linjen är ett viktigt exempel på en projektiv variation . Funktionsfältet för den projektiva linjen är fältet för rationella funktioner. Automorfismgruppen för ett fält är gruppen . Om en icke-degenererad kvadratisk kurva innehåller minst en punkt, är den birationellt isomorf till den projektiva linjen. $P^{1}(K)$ $K(X)$ $K(X)$ $PGL_{2}(K)$

Anteckningar

↑ Bogopolsky O.V. Introduktion till gruppteori. – 2002.

Litteratur

Kostrikin A. I., Manin Yu. I. Linear Algebra and Geometry - M. : Nauka 1986.
Mathematical Encyclopedia, 1984, volym 4, s.671, artikel Projective line.
Hartshorne R. Algebraisk geometri - M. : Mir, 1981.