Alexanderpolynom

Alexanderpolynomet är en knutinvariant som mappar ett polynom med heltalskoefficienter till en knut av vilken typ som helst. James Alexander upptäckte det, det första knutpolynomet , 1923. 1969 introducerade John Conway en version av detta polynom, nu kallat Alexander-Conway-polynomet . Detta polynom kan beräknas med hjälp av härstrelationen , även om betydelsen av detta inte insågs förrän upptäckten av Jones polynom 1984. Strax efter Conways förfining av Alexanderpolynomet blev det klart att en liknande nystanrelation fanns i Alexanders artikel för hans polynom [1] .

Definition

Låt K vara en knut på en 3-sfär . Låt X vara en oändlig cyklisk täckning av komplementet till noden K . Denna täckning kan erhållas genom att skära av knutkomplementet längs Seifert-ytan av knuten K och limma ett oändligt antal kopior av det resulterande grenröret på gränsen. Det finns en täckande transformation t som verkar på X . Beteckna den första gruppen av heltalshomologi X som . Transformationen t verkar på denna grupp, så vi kan se den som en modul av . Det kallas Alexanders invariant eller Alexanders modul . $H_{1}(X)$ $H_{1}(X)$ ${\mathbb {Z}}[t,t^{{-1}}]$

Denna modul skapas givetvis. Presentationsmatrisen för denna modul kallas Alexandermatrisen . Om antalet generatorer r är mindre än eller lika med antalet relationer s, betrakta det ideal som genereras av minorerna i Alexandermatrisen av ordningen r . Detta är Fittings nollideal , eller Alexanders ideal , och beror inte på valet av presentationsmatris. Om r > s sätter vi idealet lika med 0. Om Alexanderidealet är principiellt kallas det genererande elementet för detta ideal Alexanderpolynomet för den givna noden. Eftersom generatorn kan väljas unikt upp till multiplikation med Laurent-monomialet leder det ofta till en viss unik form. Alexander valde en normalisering där polynomet har en positiv konstant term. $\pm t^{n}$

Alexander bevisade att Alexanderidealet inte är noll och alltid är det viktigaste. Alexanderpolynomet existerar alltså alltid, och det är tydligt att detta är en knutinvariant, betecknad med . Alexanderpolynomet för en knut som bildas av en enkel sträng har grad 2, och för spegelbilden av knuten kommer polynomet att vara detsamma. $\Delta _{K}(t)$

Polynomberäkning

Följande algoritm för beräkning av Alexanderpolynomet gavs av J. V. Alexander i sin artikel.

Ta ett orienterat knutdiagram med n skärningspunkter. Det finns n + 2 kartområden. För att få Alexanderpolynomet konstruerar vi först en incidensmatris av storlek ( n , n + 2). n rader motsvarar n skärningspunkter och n + 2 kolumner motsvarar regioner. Värdena på matriselementen kommer att vara 0, 1, −1, t , − t .

Betrakta ett matriselement som motsvarar något område och skärningspunkt. Om området inte ligger intill skärningspunkten är elementet 0. Om området ligger intill skärningspunkten beror elementets värde på positionen. Figuren till höger visar värdet på elementen i matrisen för skärningspunkten (den nedre delen av noden är markerad med riktningen för genomgången, för den övre spelar riktningen ingen roll). Följande tabell ställer in värdena för elementen beroende på områdets position i förhållande till den underliggande linjen.

från vänster till korsningen: − t rätt till korsning: 1 vänster efter korsning: t direkt efter korsning: −1

Låt oss ta bort två kolumner som motsvarar angränsande regioner från matrisen och beräkna determinanten för den resulterande n x n matrisen. Beroende på vilka kolumner som tas bort kommer svaret att skilja sig med faktorn . För att undvika tvetydighet dividerar vi polynomet med största möjliga potens av t och multiplicerar med −1, om nödvändigt, för att få en positiv koefficient. Det resulterande polynomet är Alexanderpolynomet. $\pm t^{n}$

Alexanderpolynomet kan beräknas från Seifert-matrisen .

Efter Alexanders arbete övervägde R. Fox en presentation av knutgruppen , och föreslog en icke-kommutativ beräkningsmetod [2] som också tillåter en att beräkna . En detaljerad beskrivning av detta tillvägagångssätt finns i Crowell & Fox (1963 ). $\pi _{1}(S^{3}\omvänt snedstreck K)$ $\Delta _{K}(t)$

Ett exempel på att konstruera ett polynom

Låt oss konstruera Alexanderpolynomet för trefoilen . Bilden visar områdena (A0, A1, A2, A3, A4) och skärningspunkterna (P1, P2, P3), samt värdena för tabellposterna (nära skärningspunkterna).

Alexanders bord för shamrocken kommer att ha formen:

Punkt	A0	A1	A2	A3	A4
P1	-ett	0	-t	t	ett
P2	-ett	ett	-t	0	t
P3	-ett	t	-t	ett	0

Vi kasserar de två första kolumnerna och beräknar determinanten: . $-t^{3}-t+t^{2}$

Dela det resulterande uttrycket med , får vi Alexanderpolynomet för shamrocken: . $-t$ $t^{2}-t+1$

Grundläggande egenskaper för ett polynom

Alexanderpolynomet är symmetriskt: för alla noder K. $\Delta _{K}(t^{{-1}})=\Delta _{K}(t)$

Ur definitionens synvinkel ovan är detta uttrycket för Poincaré-isomorfismen där är kvotgruppen för fältet av bråkdelar av ringen , betraktad som en -modul, och är den konjugerade -modulen av k (som en Abelian grupp, den är identisk med , men den täckande kartläggningen fungerar som ).

{\overline {H_{1}X}}\simeq \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} [t,t^{-1}]}(H_{1}X,G)

G

\mathbb {Z} [t,t^{-1}]

\mathbb {Z} [t,t^{-1}]

\overline {H_{1}X}

\mathbb {Z} [t,t^{-1}]

H_{1}X

H_{1}X

t

t^{{-1}}

Dessutom tar Alexanderpolynomet värdet 1, modulo lika med ett: . $\Delta _{K}(1)=\pm 1$

Ur definitionens synvinkel är detta ett uttryck för det faktum att komplementet till en knut är en homologisk cirkel vars första homologi genereras av en täckande transformation . Mer generellt, om är ett 3-grenrör så att , det har ett Alexanderpolynom definierat som ordningsidealet för ett oändligt cykliskt täckande utrymme. I det här fallet är upp till tecken lika med ordningen för torsionsundergruppen .

t

M

\mathrm {rank} (H_{1}M)=1

\Delta _{M}(t)

\Delta _{M}(1)

H_{1}M

Det är känt att vilket Laurentpolynom som helst med heltalskoefficienter, som är symmetriska och har modulo 1 vid punkt 1, är ett Alexanderpolynom av någon knut [3] .

Den geometriska betydelsen av polynomet

Eftersom Alexanderidealet är principiellt om och endast om knutgruppen är perfekt (dess kommutator sammanfaller med hela knutgruppen). $\Delta _{K}(t)=1$

För en topologiskt trunkerad knut uppfyller Alexanderpolynomet Fox-Milnor-villkoret , där finns något annat Laurentpolynom med heltalskoefficienter. $\Delta _{K}(t)=f(t)f(t^{{-1}})$ $med)$

Det dubbla släktet av knuten begränsas nedan av graden av Alexanderpolynomet.

Michael Friedman bevisade att en knut på en 3-sfär är topologiskt trunkerad , det vill säga gränserna för en "lokalt platt" topologisk skiva på en 4-kula, om knutens Alexanderpolynom är trivialt [4] .

Kaufman [5] beskriver konstruktionen av Alexanderpolynomet genom summan av tillstånd av fysiska modeller. En översikt över detta tillvägagångssätt, liksom andra kopplingar till fysik, ges i Kauffmans artikel ( Kauffman, 2001 ).

Det finns även andra kopplingar med ytor och jämn 4-dimensionell topologi. Till exempel, under vissa antaganden, är kirurgi på ett 4-grenrör tillåtet , där grannskapet av en tvådimensionell torus ersätts med komplementet av en nod multiplicerat med S 1 . Resultatet är en jämn 4-manifold homeomorphic till den ursprungliga, även om Seiberg-Witten invariant ändras (multipliceras med Alexander-knuten polynom) [6] .

Det är känt att knutar med symmetri har avgränsat Alexanderpolynom. Se avsnittet om symmetri i Kawauchis verk [3] . Alexanderpolynomet kan dock missa vissa symmetrier, såsom stark reversibilitet.

Om komplementet till knuten är en bunt över en cirkel, är knutens Alexanderpolynom monaren (koefficienterna för de högre och lägre termerna är lika ). Låt vara en bunt, där är komplementet till en knut. Beteckna monodrominavbildningen som . Sedan , var är den inducerade kartläggningen i homologi. $\pm 1$ $S\till C_{K}\till S^{1}$ $C_{K}$ $g:S\till S$ $\Delta _{K}(t)=Det(tI-g_{*})$ $g_{*}:H_{1}(S)\till H_{1}(S)$

Anslutning till satellitoperationer

Låta vara en satellitnod med en satellit , det vill säga det finns en inbäddning sådan att , där är en oknuten solid torus som innehåller . Sedan . Här är ett heltal som representerar i . $K$ $K'$ $f:S^{1}\ gånger D^{2}\till S^{3}$ $K=f(K')$ $S^{1}\ gånger D^{2}\subset S^{3}$ $K$ $\Delta _{K}(t)=\Delta _{{f(S^{1}\ gånger \{0\})}}(t^{a})\Delta _{{K'}}(t )$ $a\in {\mathbb Z}$ $K'\subset S^{1}\ gånger D^{2}$ $H_{1}(S^{1}\ gånger D^{2})={\mathbb Z}$

Exempel: För en sammankopplad summa av knop . Om är en otvinnad dubbel Whitehead-knut, då . $\Delta _{{K_{1}\#K_{2}}}(t)=\Delta _{{K_{1}}}(t)\Delta _{{K_{2}}}(t)$ $K$ $\Delta _{K}(t)=\pm 1$

Alexander-Conway-polynomet

Alexander visade att Alexanderpolynomet uppfyller nystanrelationen. John Conway återupptäckte senare detta i en annan form och visade att nystanrelationen, tillsammans med valet av värde vid en trivial knut, är tillräckligt för att definiera ett polynom. Conway-versionen är ett polynom i z med heltalskoefficienter, betecknat och kallat Alexander-Conway-polynomet (och även Conway-polynomet eller Conway-Alexander-polynomet ). $\nabla (z)$

Betrakta tre diagram av orienterade länkar . $L_{+},L_{-},L_{0}$

Conways härkomstrelationer:

$\nabla (O)=1$ (där O är ett trivialt knutdiagram )
$\nabla (L_{+})-\nabla (L_{-})=z\nabla (L_{0})$

Sambandet med standard Alexanderpolynomet ges av relationen . Här måste normaliseras ordentligt (genom att multiplicera med ) så att nystanrelationen håller . Observera att detta ger ett Laurent-polynom i t 1/2 . $\Delta _{L}(t^{2})=\nabla _{L}(tt^{{-1}})$ $\Delta _{L}$ $\pm t^{{n/2}}$ $\Delta (L_{+})-\Delta (L_{-})=(t^{{1/2}}-t^{{-1/2}})\Delta (L_{0})$

Koppling till Khovanovs homologi

I verk av Ozwat och Sabo [7] och Rasmussen [8] presenteras Alexanderpolynomet som Euler-karaktäristiken för ett komplex vars homologi är isotopi invariant av knuten under övervägande , så Floers homologiteori är en kategorisering av Alexanderpolynomet. Se artikeln " Khovanov homology " [9] för detaljer . $K$

Variationer och generaliseringar

HOMFLY-polynomet är en liknande men mer subtil invariant av knutar och länkar.

Anteckningar

↑ Alexander beskriver nystanrelationen i slutet av artikeln under rubriken "diverse teorem", vilket kan vara anledningen till att de inte uppmärksammades. Joan Bierman nämner i sin artikel " New points of view in knot theory " ( Bull. Amer. Math. Soc. (NS) 28 (1993), nr 2, 253-287) att Mark Kidwell uppmärksammade henne på Alexanderkvoten år 1970.
↑ Fox, 1961 .
↑ 12 Kawauchi , 1996 .
↑ Freedman, Quinn, 1990 .
↑ Kauffman, 1983 .
↑ Fintushel och Stern (1997) - Knutar, länkar och 4-grenrör . Hämtad 9 juni 2015. Arkiverad från originalet 29 juni 2021. (obestämd)
↑ Ozsvath, Szabo, 2004 .
↑ Rasmussen, 2003 .
↑ Khovanov, 2006 .

Litteratur

JW Alexander. Topologiska invarianter av knutar och länkar // Trans. amer. Matematik. soc. . - 1928. - T. 30 , nr. 2 . — S. 275–306 . - doi : 10.2307/1989123 .
R. Crowell, R. Fox. Introduktion till knutteori . — Ginn och Co. efter 1977 Springer Verlag, 1963.
Colin C. Adams. The Knot Book: En elementär introduktion till den matematiska teorin om knutar. — Reviderad nytryckning av 1994 års original. - Providence, RI: American Mathematical Society, 2004. - ISBN 0-8218-3678-1 . (tillgänglig introduktion som använder en nystan relation)
R. Fox. En snabb resa genom knutteori, In Topology of ThreeManifold // Proceedings of 1961 Topology Institute at Univ. of Georgia, redigerad av MKFort. — Englewood Cliffs. NJ: Prentice-Hall, 1961. s. 120–167 .
Michael H. Freedman, Frank Quinn. Topologi för 4-grenrör. - Princeton, NJ: Princeton University Press, 1990. - V. 39. - (Princeton Mathematical Series). - ISBN 0-691-08577-3 .
Louis Kauffman. Formell knutteori. — Princeton University Press, 1983.
Louis Kauffman. Knutar och fysik. — World Scientific Publishing Company, 2001.
Akio Kawauchi. En undersökning av knutteori. — Birkhauser, 1996. (täcker flera olika tillvägagångssätt, förklarar sambanden mellan olika versioner av Alexanderpolynomet)
M. Khovanov. Länkhomologi och kategorisering . - 2006. - arXiv : math/0605339 .
Peter Ozvath, Zoltan Szabo. Holomorfa skivor och knutinvarianter // Adv. Math., nr., 58--6. - 2004. - T. 186 , nr. 1 . — s. 58–116 . - doi : 10.1016/j.aim.2003.05.001 . - . - arXiv : math/0209056 .
J. Rasmussen. Blomsterhomologi och knutkomplement . - 2003. - S. 6378 . - . - arXiv : math/0306378 .
Dale Rolfsen. Knutar och länkar. — 2:a. - Berkeley, CA: Publish or Perish, 1990. - ISBN 0-914098-16-0 . (förklarar klassiskt tillvägagångssätt med Alexander-invarianten; knut- och länktabell med Alexanderpolynom)

Länkar

Encyclopedia of Mathematics / Michiel Hazewinkel. - Springer, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .
Huvudsidan och Alexander-Conway-polynomet , Knutatlasen. - Tabell över knutar och länkar med beräknade polynom för Alexander och Conway

Teori om knutar och länkar
Hyperbolisk	Åtta (4 1 ) Tre halva varv (5 2 ) Stevedoring (6 1 ) 6 2 6 3 74 _ Mat Carrick (8 18 ) Par percos (10 161 ) Spets (−2,3,7) (12n242) Whitehead (52 1) Borromeanska ringar (63 2) L10a140
satellit	Sammansättning ( babiy ) hetero Summan av knop
torisk	Trivialt (0 1 ) Shamrock (3 1 ) Potentilla (5 1 ) Seven-leaf (7 1 ) Olänkad (02 1) Hopp (22 1) Salomo (42 1)
Invarianter	alternerande Arfa invariant Antal broar ( 2-broar ) Brunnisk länk Chiralitet ( reversibel ) Antal filmer Antal korsningar Vasiliev invariant Hyperbolisk volym Khovanovs homologi Släkte Nodgrupp Kugghjulsgrupp Utväxling Polynom ( Alexander Kauffman fäste HEMLIGT Jones Kaufman ) Spetsförlovning Enkel knut ( lista ) Antal segment Antal trefärgade färger Antalet och uppgiften att avbinda
Notation och operationer	Alexander–Briggs notation Conway notation Docker notation Mutation Reidemeisterrörelsen Skene förhållande
Övrig	Alexanders teorem Berge knut fläta teori Conway sfär Nodslutförande Dubbel torusknut Skiktad knut Tejp Skära Summan av knop Tates hypoteser Vriden Vild Twist nummer Seifert yta