Homologisk sfär

En homologisfär är ett n - dimensionellt grenrör X med homologi som en n - dimensionell sfär . Det är

Ho ( X , Z ) = Z = Hn ( X , Z ) ,

och

H i ( X , Z ) = {0} för alla andra i .

Exempel

Poincaré-sfär
Brieskornsfärerna Σ( p , q , r ), dvs skärningen av en liten 5-dimensionell sfär med lösningen av ekvationen x p + y q + z r = 0 vid coprime p , q och r . De är homologa sfärer. Dessutom är Σ(1, 1, 1) homeomorf till standardsfären och Σ(2, 3, 5) till Poincare-sfären. Om , då den universella täckningen Σ( p , q , r ) är homeomorf till det euklidiska rummet, $\mathbb {C} ^{3}$ $1/p+1/q+1/r\leq 1$

Den homologiska sfären är sammankopplad.
Grundgruppen för den homologiska sfären sammanfaller med dess kommutator. $\Gamma$
Låt . En grupp är en grupp av någon n - dimensionell homologisk sfär om och endast om [1] : $n\geqslant 5$ $\Gamma$
1. $\Gamma$ givetvis givet ;
2. $H_{1}(\Gamma )=0$ ;
3. $H_{2}(\Gamma )=0$ .
En grupp är en grupp av någon 4 - dimensionell homologisk sfär om $\Gamma$
1. $\Gamma$ ges av lika många generatorer och relationer, och
2. $H_{1}(\Gamma )=0$ .
- Det är okänt om det omvända är sant [1] .
En sammankopplad summa av två homologisfärer är en homologisfär.
Enligt den generaliserade Poincaré-förmodan är en enkelt kopplad homologisk sfär homeomorf till standardsfären.

Rationellt homologiska sfärer definieras på ett liknande sätt, men med hjälp av homologi med rationella koefficienter.

↑ 1 2 Michel A. Kervaire, Smooth Homology Spheres and their Fundamental Groups Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 144 (okt., 1969), sid. 67-72