Oktaeder

Vanlig oktaeder

( roterande modell )

Sorts

vanlig polyeder

Kombinatorik

Element

8 ytor
12 kanter
6 hörn

X = 2

Fasett

4.4.4

kub

Skanna

Klassificering

Notation

Schläfli symbol

$\{3,4\}$
$r\{3,3\}$ eller $\begin{Bmatrix} 3 \\ 3 \end{Bmatrix}$

Wythoff symbol

4 | 2 3

Dynkin diagram

Symmetrigrupp

O_{h}

Rotationsgrupp

O

kvantitativa data

Dihedral vinkel

\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)\approx 109,5^{\circ }

Gedigen vinkel i spetsen

2\pi -8\arcsin \left({\frac {1}{\sqrt {3))}\right)

\ungefär 1,35935

ons

Mediafiler på Wikimedia Commons

Oktaedern ( grekiska οκτάεδρον från οκτώ "åtta" + έδρα "bas") är en polyeder med åtta ytor.

Den regelbundna oktaedern är en av de fem konvexa regelbundna polyedrarna [1] , de så kallade platonska fasta kropparna ; dess ansikten är åtta liksidiga trianglar . Vanlig oktaeder -

dubbel till en kub ;
fullständig trunkering av tetraedern ;
kvadratisk bipyramid i någon av de tre ortogonala riktningarna;
triangulär antiprisma i någon av de fyra riktningarna;
tredimensionell boll i metriska stadskvarter .

En oktaeder är en tredimensionell version av det mer allmänna begreppet hyperoktaeder .

Vanlig oktaeder

En vanlig oktaeder har 8 triangulära ytor, 12 kanter, 6 hörn och 4 kanter möts vid varje vertex.

Dimensioner

Om oktaederns kantlängd är a , då är radien för sfären omskriven runt oktaedern:

r_u = \frac{a}{2} \sqrt{2} \approx 0,7071067 \cdot a

radien för en sfär inskriven i en oktaeder kan beräknas med formeln:

r_i = \frac{a}{6} \sqrt{6}\approx 0,4082482\cdot a .

dihedral vinkel : , där . $\alpha = 2\phi \approx 109.47^\circ$ $\phi = arccos(\frac{\sqrt3}{3})$

Radien för en halvinskriven sfär som berör alla kanter är

r_m = \frac{a}{2} = 0,5\cdot a

Ortografiska projektioner

Oktaedern har fyra speciella ortogonala projektioner , centrerade av en kant, en vertex, ett ansikte och en ansiktsnormal. Det andra och tredje fallet motsvarar Coxeterplanen B 2 och A 2 .

Ortografiska projektioner

Centrerad	kant	Normal mot ansikte	höjdpunkt	kant
Bild
Projektiv symmetri	[2]	[2]	[fyra]	[6]

Sfärisk plattsättning

En oktaeder kan representeras som en sfärisk plattsättning och projiceras på ett plan med hjälp av en stereografisk projektion . Denna projektion är konform och bevarar vinklar men inte längder eller area. Segment på sfären mappas till cirkelbågar på planet.

ortogonal projektion	Stereografisk projektion
	triangulärt centrerad

Kartesiska koordinater

En oktaeder med kantlängd kan placeras vid origo så att dess hörn ligger på koordinataxlarna. De kartesiska koordinaterna för hörnen blir då ${\sqrt {2}}$

(±1,0,0); (0, ± 1, 0); (0, 0, ±1).

I det rektangulära koordinatsystemet x - y - z är oktaedern centrerad vid punkten ( a , b , c ) och radien r mängden av alla punkter ( x , y , z ) så att

\left|x - a\right| + \left|y - b\right| + \left|z - c\right| = r.

Area och volym

Den totala ytan av en vanlig oktaeder med kantlängd a är

S=2a^2\sqrt{3} \approx 3,46410162a^2

Volymen av en oktaeder ( V ) beräknas med formeln:

V=\begin{matrix}{1\over3}\end{matrix}\sqrt{2}a^3 \approx 0,471404521a^3

Volymen av en oktaeder är alltså fyra gånger volymen av en tetraeder med samma kantlängd, medan ytarean är dubbelt så stor (eftersom ytan består av 8 trianglar, medan tetraedern har fyra).

Om oktaedern sträcks för att tillfredsställa jämställdheten:

\left|\frac{x}{x_m}\right|+\left|\frac{y}{y_m}\right|+\left|\frac{z}{z_m}\right| = 1,

formler för yta och volym blir till:

A=4 \, x_m \, y_m \, z_m \times \sqrt{\frac{1}{x_m^2}+\frac{1}{y_m^2}+\frac{1}{z_m^2}}

V=\frac{4}{3}\,x_m\,y_m\,z_m

Dessutom kommer tensorn för tröghetsmomenten för den sträckta oktaedern att vara lika med:

I = \begin{bmatrix} \frac{1}{10} m (y_m^2+z_m^2) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{10} m (x_m^2+z_m^2 ) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{10} m (x_m^2+y_m^2) \end{bmatrix}

Det reduceras till ekvationen för en vanlig oktaeder när: $x_m=y_m=z_m=a\,\frac{\sqrt{2}}{2}$

Geometriska länkar

Den inre (gemensamma) delen av konfigurationen av två dubbla tetraedrar är en oktaeder, och denna konfiguration i sig kallas en stellerad oktaeder ( latin: stella octangula ). Konfigurationen är den enda stjärnbilden av oktaedern. Följaktligen är en vanlig oktaeder resultatet av att man skär av fyra vanliga tetraeder från en vanlig tetraeder med halva kantlängden (det vill säga en fullständig trunkering av tetraedern). Oktaederns hörn ligger i mitten av tetraederns kanter, och oktaedern är besläktad med tetraedern på samma sätt som kuboktaedern och icosidodecahedronen är besläktade med resten av de platoniska fasta ämnena. Det är möjligt att dela upp oktaederns kanter i förhållande till det gyllene snittet för att bestämma icosaederns hörn . För att göra detta, placera vektorerna på kanterna så att alla ytor omges av cykler. Sedan delar vi upp varje kant i det gyllene snittet längs vektorerna. De resulterande punkterna är hörnen på icosahedron.

Oktaedrar och tetraedrar kan sammanflätas för att bygga vertex, kant, och ansikte enhetliga honeycombs , som Fuller kallade oktettbunten . Dessa är de enda kammarna som tillåter regelbunden stapling i en kub , och de är en av 28 typer av konvexa enhetliga bikakor .

Oktaedern är unik bland de platonska fasta kropparna genom att den ensam har ett jämnt antal ytor vid varje vertex. Dessutom är det den enda medlemmen i denna grupp som har symmetriplan som inte skär något ansikte.

Genom att använda standardterminologi för Johnson polyhedra kan oktaedern kallas en fyrkantig bipyramid . Trunkering av två motsatta hörn resulterar i en trunkerad bipyramid .

Oktaedern är 4-kopplad . Detta innebär att fyra hörn måste tas bort för att koppla bort de återstående. Det är en av endast fyra 4-kopplade enkla vältäckta polyedrar, vilket innebär att alla största oberoende vertexuppsättningar har samma storlek. De andra tre polyedrarna med denna egenskap är den femkantiga bipyramiden , snub biklinoid , och en oregelbunden polyeder med 12 hörn och 20 triangulära ytor [2] .

En oktaeder kan vara inskriven i en tetraeder, dessutom kommer fyra av de åtta ytorna på oktaedern att vara i linje med de fyra ytorna på tetraedern, alla sex hörn på oktaedern kommer att vara i linje med mitten av de sex kanterna på tetraedern.
En oktaeder kan inskrivas i en kub, dessutom kommer alla sex hörn på oktaedern att vara i linje med mitten av kubens sex ytor.
En kub kan inskrivas i en oktaeder, dessutom kommer alla åtta hörn av kuben att vara belägna i mitten av de åtta ytorna på oktaedern.

Enhetlig färgning och symmetri

Det finns 3 enhetliga färger oktaedern, uppkallade efter deras ansiktsfärger: 1212, 1112, 1111.

Oktaederns symmetrigrupp är O h med ordning 48, en tredimensionell hyperoktaedrisk grupp . Undergrupper av denna grupp inkluderar D 3d (ordning 12), den triangulära antiprismasymmetrigruppen , D 4h (ordning 16), den kvadratiska bipyramidsymmetrigruppen och Td (ordning 24), den helt trunkerade tetrahedronsymmetrigruppen . Dessa symmetrier kan framhävas genom olika färgning av ansiktena.

namn	Oktaeder	Helt trunkerad tetraeder (Tetratetrahedron)	Triangulär antiprisma	Fyrkantig bipyramid	Rombisk bipyramid
Ritning (ansiktsfärgning)	(1111)	(1212)	(1112)	(1111)	(1111)
Coxeter diagram		=
Schläfli symbol	{3,4}	r{3,3}	s{2,6} sr{2,3}	fot{2,4} { } + {4}	ftr{2,2} { } + { } + { }
Wythoff symbol	4 \| 3 2	2 \| 4 3	2 \| 6 2 \| 2 3 2
Symmetri	Åh , [ 4,3], (*432)	T d , [3,3], (*332)	D 3d , [2 + ,6], (2*3) D 3 , [2,3] + , (322)	D 4h , [2,4], (*422)	D 2h , [2,2], (*222)
Ordning	48	24	12 6	16	åtta

Reamers

Det finns elva varianter av utvecklingen av oktaedern [3] .

Dualitet

Oktaedern är dubbel till kuben .

Klipp ut

En homogen tetrahemihexaeder är en facettering med tetraedrisk symmetri av en vanlig oktaeder, vilket bevarar arrangemanget av kanter och hörn . Snittet har fyra triangulära fasetter och 3 centrala rutor.

Oktaeder	tetrahemihexaeder

Oregelbundna oktaedrar

Följande polyedrar är kombinatoriskt ekvivalenta med en vanlig oktaeder. De har alla sex hörn, åtta triangulära ytor och tolv kanter, vilket motsvarar en till en till parametrarna för en vanlig oktaeder.

Triangulära antiprismor - två ytor är liksidiga trianglar som ligger i parallella plan och har en gemensam symmetriaxel. De återstående sex trianglarna är likbenta.
Fyrkantiga bipyramider , där minst en ekvatorial fyrhörning ligger i ett plan. En vanlig oktaeder är ett specialfall där alla tre fyrhörningarna är platta kvadrater.
Schoenhardt polytop , en icke-konvex polytop som inte kan brytas upp till tetraedrar utan att introducera nya hörn.

Andra konvexa oktaedrar

I allmänhet kan vilken polyeder som helst med åtta ytor kallas en oktaeder. En vanlig oktaeder har 6 hörn och 12 kanter, det minsta antalet för en oktaeder. Oregelbundna oktagoner kan ha upp till 12 hörn och 18 kanter [3] [4] . Det finns 257 topologiskt distinkta konvexa oktaedrar, exklusive spegelkopior [3] . I synnerhet finns det 2, 11, 42, 74, 76, 38, 14 oktaedrar med 6 till 12 spetsar, respektive [5] [6] . (Två polyedrar är "topologiskt distinkta" om de har internt olika arrangemang av ytor och hörn, så att det inte är möjligt att omvandla en kropp till en annan helt enkelt genom att ändra längden på kanterna eller vinklarna mellan kanter eller ytor.)

Några anmärkningsvärda oregelbundna oktagoner:

Hexagonalt prisma : Två ytor är parallella regelbundna hexagoner, sex kvadrater förbinder motsvarande par av sidor av hexagonerna.
Heptagonal pyramid : En sida är en heptagon (vanligtvis regelbunden) och de återstående sju ytorna är trianglar (vanligtvis likbenta). Det är omöjligt att uppnå att alla triangulära ytor är liksidiga.
Trunkerad tetraeder : De fyra ytorna på tetraedern är trunkerade till regelbundna hexagoner och ytterligare tre liksidiga triangulära ytor bildas i stället för de trunkerade hörnen.
Fyrsidig trapezoeder : Åtta ansikten är kongruenta med deltoider .

Oktaedrar i den fysiska världen

Oktaedrar i naturen

Många naturliga kubiska kristaller är formade som en oktaeder. Dessa är diamant , aluminium-kaliumsulfat , natriumklorid , perovskit , olivin , fluorit , spinell .
De interatomära hålrummen (porerna) i tätpackade strukturer av rena metaller ( nickel , koppar , magnesium , titan , lantan och många andra) och joniska föreningar (natriumklorid, sfalerit , wurtzite , etc.) har formen av en oktaeder.
Plattor av kamacitelegeringen i oktaedritmeteoriter är placerade parallellt med oktaederns åtta ytor.

Oktaedrar i konst och kultur

I spel är oktaedertärningen känd som "d8".
Om varje kant av oktaedern ersätts av ett motstånd på en ohm kommer det totala motståndet mellan motsatta hörn att vara 1/2 ohm och mellan intilliggande hörn - 5/12 ohm [7] .
Sex musikaliska toner kan arrangeras på hörnen av en oktaeder så att varje kant representerar ett konsonantpar och varje yta representerar en konsonanttrippel.
Pansarvärnsigelkotten har formen av tre diagonaler av en oktaeder.

Tetraedriskt ligament

Ramverket för upprepande tetraedrar och oktaedrar uppfanns av Fuller på 1950-talet och är känt som rymdramen anses vara den starkaste strukturen som motstår fribärande strålspänningar .

Relaterade polytoper

En vanlig oktaeder kan förstoras till en tetraeder genom att lägga till fyra tetraedrar på alternerande ytor. Att lägga till tetraedrar till alla åtta ansikten bildar en stellartad oktaeder .

tetraeder	stellartad oktaeder

Oktaedern tillhör familjen av enhetliga polyedrar relaterade till kuben.

Uniforma oktaedriska polyedrar

Symmetri : [4,3], (*432)							[4,3] + , (432)	[3 + ,4], (3*2)


{4,3}	t{4,3}	r{4,3}	t{3,4}	{3,4}	rr{4,3}	tr{4,3}	sr{4,3}	s{3,4}
Dubbla polyedrar

V4 3	v3.82 _	V(3.4) 2	v4.62 _	V3 4	v3.43 _	V4.6.8	V3 4.4 _	V3 5

Det är också ett av de enklaste exemplen på en hypersimplex , en polyeder som bildas av en viss skärning av en hyperkub med ett hyperplan .

Oktaedern ingår i en sekvens av polyedrar med Schläfli-symbolen {3, n } som sträcker sig till det hyperboliska planet .

* n 32 vanliga plattsättningssymmetrier: 3 n eller {3, n }

sfärisk				euklidisk	Kompakt hyperbel.		Para -kompakt	Icke-kompakt hyperbolisk

3.3	3 3	3 4	3 5	3 6	3 7	3 8	3∞ _	3 12i	39i _	36i _	3 3i

Tetratetrahedron

En vanlig oktaeder kan ses som en helt trunkerad tetraeder och kan kallas en tetratetraeder . Detta kan visas med en tvåfärgsmodell. I denna färgning har oktaedern tetraedrisk symmetri .

Jämförelse av trunkeringssekvensen för en tetraeder och dess dubbla figur:

Familj av enhetliga tetraedriska polyedrar

Symmetri : [3,3] , (*332)							[3,3] + , (332)


{3,3}	t{3,3}	r{3,3}	t{3,3}	{3,3}	rr{3,3}	tr{3,3}	sr{3,3}
Dubbla polyedrar

V3.3.3	V3.6.6	V3.3.3.3	V3.6.6	V3.3.3	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3.3

De fasta ämnena ovan kan förstås som skivor vinkelräta mot tesseraktens långa diagonal . Om denna diagonal placeras vertikalt med en höjd av 1, kommer de första fem sektionerna från toppen att vara på höjderna r , 3/8, 1/2, 5/8 och s , där r är valfritt tal i intervallet (0 ,1/4], och s — valfritt tal i intervallet [3/4,1).

Oktaedern som en tetratetraeder existerar i en sekvens av symmetrier av kvasi-regelbundna polyedrar och plattsättningar med vertexkonfiguration (3. n ) 2 , som går från plattsättningar på sfären till det euklidiska planet och sedan till det hyperboliska planet. I orbifoldnotationen av symmetri * n 32 är alla dessa plattsättningar Wythoff-konstruktioner inom den fundamentala symmetridomänen med genererande punkter i rät vinkel av domänen [8] [9] .

* n 32 orbifoldiga symmetrier av kvasi-regelbundna plattsättningar : (3. n ) 2

Byggnad	sfärisk			euklidisk	Hyperbolisk
Byggnad	*332	*432	*532	*632	*732	*832...	*∞32
Kvasi -regelbundna figurer
Vertex	(3.3) 2	(3.4) 2	(3.5) 2	(3.6) 2	(3.7) 2	(3.8) 2	(3.∞) 2

Triangulär antiprisma

Som en triangulär antiprisma är oktaedern släkt med familjen av hexagonal dihedral symmetri.

Uniform hexagonala dihedriska sfäriska polyedrar

Symmetri : [6,2] , (*622)							[6,2] + , (622)	[6,2 + ], (2*3)


{6,2}	t{6,2}	r{6,2}	t{2,6}	{2,6}	rr{2,6}	tr{6,2	sr{6,2}	s{2,6}
Deras dubbla polyedrar

V6 2	V12 2	V6 2	V4.4.6	v26 _	V4.4.6	V4.4.12	V3.3.3.6	V3.3.3.3

Familj av homogena antiprismor n .3.3.3

Konfiguration	V2.3.3.3	3.3.3.3	4.3.3.3	5.3.3.3	6.3.3.3	7.3.3.3	8.3.3.3	9.3.3.3	10.3.3.3	11.3.3.3	12.3.3.3	... ∞.3.3.3
Polyeder
Mosaik

Fyrkantig bipyramid

Bipyramid familj

Konfiguration	V2.4.4	V3.4.4	V4.4.4	V5.4.4	V6.4.4	V7.4.4	V8.4.4	V9.4.4	V10.4.4	... V∞.4.4
Polyeder
Mosaik

Se även

Anteckningar

↑ Selivanov D. F. ,. Geometrisk kropp // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 volymer (82 volymer och ytterligare 4). - St Petersburg. 1890-1907.
↑ Finbow, Hartnell, Nowakowski, Plummer, 2010 , sid. 894–912.
↑ 1 2 3 Weisstein, Eric W. Octahedron (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ Steven Dutch. Uppräkning av polyedrar (inte tillgänglig länk) . Hämtad 8 november 2015. Arkiverad från originalet 10 oktober 2011. (obestämd)
↑ Räkna polyedrar . Hämtad 8 november 2015. Arkiverad från originalet 6 maj 2016. (obestämd)
↑ Arkiverad kopia . Hämtad 14 augusti 2016. Arkiverad från originalet 17 november 2014. (obestämd)
↑ Klein, 2002 , sid. 633–649.
↑ Williams, 1979 .
↑ Tvådimensionella symmetrimutationer av Daniel Huson

Litteratur

Stora sovjetiska encyklopedien
Arthur S. Finbow, Bert L. Hartnell, Richard J. Nowakowski, Michael D. Plummer. På vältäckta trianguleringar. III // Diskret tillämpad matematik. - 2010. - T. 158 , nr. 8 . - doi : 10.1016/j.dam.2009.08.002 .
Douglas J. Klein. Resistance-Distance Sum Rules // Croatica Chemica Acta. - 2002. - T. 75 , nr. 2 . Arkiverad från originalet den 10 juni 2007.
R. Williams. Kapitel 5 Kalejdoskopet, avsnitt: 5.7 Wythoffs // Den naturliga strukturens geometriska grund: A Source Book of Design . — New York: Dover Publications , 1979.

Länkar

Weisstein, Eric W. Octahedron (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
Klitzing Polytopes, 3D konvexa enhetliga polyedrar
Redigerbart utskrivbart nät av en oktaeder med interaktiv 3D-vy
Pappersmodell av oktaedern
KJM MacLean, en geometrisk analys av de fem platoniska fasta ämnena och andra halvregelbundna polyedrar
Den enhetliga polyedern
Virtual Reality Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra
- Conway Notation för Polyhedra Prova: dP4

Polyedra

korrekt

Tredimensionell (platoniska fasta ämnen)	vanlig tetraeder Kub Oktaeder Dodekaeder icosahedron
4D	Femceller tesserakt Hexadecimal cell tjugofyra celler 120 celler Sexhundra celler
Större dimension (anges inom parentes)	Vanlig simplex Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) Hyperoktaeder

Vanlig
icke-konvex

Tredimensionell med antalet
ytor (anges inom parentes)

Monohedron (1)
Dihedron (2)
Trihedron (3)
Tetraeder (4)
Pentahedron (5)
Hexaeder (6)
Heptahedron (7)
Oktaeder (8)
Enneahedron (9)
Dekaeder (10)
Endecahedron (11)
Dodekaeder (12)
Tridecahedron (13)
Tetradecahedron (14)
Pentadecahedron (15)
Hexadekaeder (16)
Heptadecahedron (17)
Octadecahedron (18)
Enneadekaeder (19)
Icosahedron (20)
Icosotetrahedron (24)
Triacontahedron (30)
Hexacontahedron (60)
Enneacontahedron (90)
Hectotriadiohedron (132)
Apeirohedron (∞)

konvex

Arkimedeiska fasta ämnen

Katalanska kroppar

Prismor
trekantsprisma fyrkantigt prisma Pentagonal prisma Sexkantigt prisma Heptagonal prisma Åttakantigt prisma Niovinklat prisma Dekagonalt prisma Elvavinklat prisma Dodecagonal prisma

Johnson polyeder

Formler ,
satser ,
teorier

Övrig

Schläfli symbol
Polygoner	{ett} {2} {3} {fyra} {5} {6} {7} {åtta} {9} {tio} {elva} {12} {fjorton} {femton} {17} {arton} {tjugo} {trettio} {51} {257} {65537} {4294967295} {∞}
stjärnpolygoner	{5/2} {6/2} {7/2} {7/3} {8/2} {8/3} {9/2} {9/3} {9/4}
Plana parketter _	{3,6} {4,4} {6,3}
Vanliga polyedrar och sfäriska parketter	{2, n } {3,3} {4,3} {3,4} {5,3} {3,5} { n ,2}
Kepler-Poinsot polyedrar	{5/2.5} {5,5/2} {5/2,3} {3,5/2}
honungskakor	{4,3,4}
Fyrdimensionella polyedrar	{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}