Coxeter nummer

Coxeter-numret är ett kännetecken för en ändlig irreducerbar Coxeter-grupp . I fallet när Coxeter-gruppen är Weyl-gruppen i en enkel Lie-algebra , då talar man om algebrans Coxeter-nummer . $\mathfrak g$ $\mathfrak g$

Konceptet är uppkallat efter Harold Coxeter .

Definition

Det finns flera motsvarande definitioner för detta nummer.

Coxeter-talet är lika med antalet rötter dividerat med rangen. På motsvarande sätt är Coxeter-talet två gånger antalet reflektioner i Coxeter-gruppen dividerat med rangen. Om gruppen är uppbyggd på en enkel Lie-algebra, så är dimensionen för denna algebra n ( h + 1), där n är rangen och h är Coxeter-talet.
Coxeter-elementet (ibland Killing-Coxeter-elementet ) är produkten av alla enkla reflektioner (inte att förväxla med elementet i Coxeter-gruppen med störst längd). Coxeter-numret är ordningen för Coxeter-elementet.
Om är expansionen av den högsta roten i enkla rötter, då är Coxeter-talet . $\theta=\summa m_i \alpha_i$ $1+\summa m_i$
- På motsvarande sätt, om är ett element så att , då . $\rho^\vee$ $\langle\rho^\vee,\alpha_i\rangle=1$ $h=\langle\rho^\vee,\theta\rangle+1$
Coxeter-talet är den största av potenserna för grundinvarianterna i Coxeter-gruppen.

Värdetabell

Coxeter grupp och Schläfli symbol		Earl av Coxeter	Dynkin diagram	Coxeter nummer $h$	Dual av Coxeter $h^\vee$	Grader av grundläggande invarianter
A n	[3,3...,3]	...	...	n + 1	n + 1	2, 3, 4, ..., n + 1
B n	[4,3...,3]	...	...	2n _	2n − 1	2, 4, 6, ..., 2n
C n	[4,3...,3]	...	...	2n _	n + 1	2, 4, 6, ..., 2n
D n	[3,3,..3 1,1 ]	...	...	2n − 2	2n − 2	n _ 2, 4, 6, ..., 2n − 2
E 6	[3 2,2,1 ]			12	12	2, 5, 6, 8, 9, 12
E 7	[3 3,2,1 ]			arton	arton	2, 6, 8, 10, 12, 14, 18
E 8	[3 4,2,1 ]			trettio	trettio	2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30
F4 _	[3,4,3]			12	9	2, 6, 8, 12
G2 _	[6]			6	fyra	2, 6
H3 _	[5,3]		-	tio		2, 6, 10
H4 _	[5,3,3]		-	trettio		2, 12, 20, 30
I 2 ( p )	[p]		-	sid		2, sid

Variationer och generaliseringar

Dubbla Coxeter-nummer

I det fall där Coxeter-gruppen är Weil-gruppen av en enkel Lie-algebra , kan man införa det dubbla (dubbla) Coxeter-talet . En sådan föreställning tycks ha förekommit första gången i ett papper från Springer och Steinberg från 1970 [1] och möter ofta i representationsteorin . Du kan bestämma detta nummer på något av följande sätt. $\mathfrak{g}$ $h^\vee$

Om är halvsumman av positiva rötter, och är den högsta roten, då . $\rho$ $\theta$ $h^\vee=\langle \rho , \theta\rangle+1$
Om är den äldsta korta roten nedbruten i enkla rötter, då . $\theta_m=\summa m_i \alpha_i$ $h^\vee=\summa m_i+1$
Dubbla det dubbla Coxeter-talet är lika med förhållandet mellan två invarianta symmetriska bilinjära former på Lie-algebra : Killing-formen och formen där den högsta roten har längd 2. $\mathfrak{g}$
Enligt tabellen ovan.

För Lie-algebror med enkla kopplingar är Coxeter-talet och det dubbla Coxeter-talet samma. Det dubbla Coxeter-numret ska inte förväxlas med Coxeter-numret för den dubbla Lie-algebra.

För en affin Lie-algebra kallas nivåvärdet lika med kritiskt, och för detta värde har den universella omslutande algebra ett stort centrum. $\widehat{\mathfrak{g))$ $-h^\vee$

Anteckningar

↑ Vilken roll spelar det "dubbla Coxeter-numret" i Lie-teorin - Mathoverflow

Länkar

N. Bourbaki, Elements of Mathematics, Lie-grupper och algebror, kapitel IV-VI, M.: Mir, 1972.
J. Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups, Cambridge University Press, 1990.
Etingof, Pavel I.; Frenkel, Igor; Kirillov, Alexander A. (1998), Föreläsningar om representationsteori och Knizhnik–Zamolodchikov-ekvationer, matematiska undersökningar och monografier 58, American Mathematical Society, ISBN 0821804960