Halvenkel Lie algebra

En semisenkel Lie-algebra är en Lie-algebra som är den direkta summan av enkla Lie-algebra , det vill säga icke-abeliska Lie-algebra utan icke-triviala ideal.

Rollen av semisenkelhet i studiet av Lie algebras

Levi-Maltsevs sats om Levi- sönderdelningen säger att vilken Lie-algebra som helst är en halvdirekt summa [1] av ett lösbart ideal (kallad Lie-algebra-radikal ) och en halvsimpel algebra [2] . I synnerhet kan en Lie-algebra som inte är noll vara avgörbar och halvenkel samtidigt. För många problem tillåter detta oss att separat överväga teorin om lösbara Lie-algebror och, separat, halvenkla sådana.

Halvenkla algebror över ett algebraiskt stängt fält med karakteristik 0 är helt klassificerade efter sina rotsystem , som i sin tur beskrivs av Dynkin-diagram . Över icke-algebraiska slutna fält blir klassificeringen mer komplicerad, men för ett fält med reella tal är en verklig Lie-algebra halvenkel om och endast om dess komplexisering är halvenkel.

Egenskaper

Semi-enkelhet bevaras när man överväger den ideala, Lie factor algebra, direkt produkt [3] .
(Cartan-kriteriet) Lie-algebra är halvenkel om och endast om dess dödande form är icke- degenererad.
(Weils sats) En finitdimensionell representation av en halvenkel Lie-algebra är helt reducerbar [4] .
Faktorn är halvenkel, som en faktor av en halvenkel Lie-algebra, och abelisk, som en faktor av kommutator. Då är det lika med noll Lie-algebra. Därför är kommutanten för en semisimple Lie-algebra lika med sig själv: I synnerhet ligger vilken linjär semisimple Lie-algebra som helst i . ${\mathfrak {g}}/[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]={\mathfrak {g}}.$ $[{\mathfrak {gl}}_{n},{\mathfrak {gl}}_{n}]={\mathfrak {sl}}_{n}$

Struktur

Låta vara en ändlig-dimensionell semisenkel Lie-algebra över ett algebraiskt slutet fält med karakteristisk 0. Betrakta Cartan subalgebra, en maximal torisk subalgebra [5] , där ordet torisk betyder att den består av semisimpla element, det vill säga element så att vi diagonalisera. Du kan överväga åtgärden genom att använda den bifogade vyn . För en semisenkel Lie-algebra visar sig Cartan-subalgebra vara Abelisk [6] , så operatorerna som motsvarar dess element kan diagonaliseras samtidigt [6] . $\mathfrak{g}$ ${\mathfrak {h))$ $x$ $\operatörsnamn {ad} (x)$ ${\mathfrak {h))$ $\mathfrak{g}$ $\operatörsnamn {ad}$ $\operatörsnamn {ad}$

Låta vara en linjär funktion på . Sedan kan vi betrakta ett delrum i (möjligen noll) givet av formeln: $\alpha \in {\mathfrak {h}}^{\ast }$ ${\mathfrak {h))$ $\mathfrak{g}$

{\mathfrak {g}}_{\alpha }=\{x\in {\mathfrak {g}}|[h,x]=\alpha (h)x\quad \forall h\in {\ mathfrak {h}}\}.

Nedbrytning till rotdelrum [7] [8]

Om är en Cartan subalgebra av , visar det sig att och bryts ner till en direkt summa (som en -modul): ${\mathfrak {h))$ $\mathfrak{g}$ ${\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {h}}$ $\mathfrak{g}$ ${\mathfrak {h))$

{\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }

där är mängden av alla linjära funktioner som inte är noll så att . Dessutom har var och en följande egenskaper: $\Phi$ $\alpha \in {\mathfrak {h}}^{\ast }$ ${\mathfrak {g}}_{\alpha }\neq \{0\}$ $\alpha ,\beta \in \Phi$

$[{\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{\beta }]\subseteq {\mathfrak {g}}_{\alpha +\beta }$ , medan formeln blir en likhet för . $\alpha +\beta \neq 0$
$[{\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{-\alpha }]\oplus {\mathfrak {g}}_{-\alpha }\oplus {\ mathfrak {g}}_{\alpha }\simeq {\mathfrak {sl}}_{2}$ , där isomorfismen ska förstås som en isomorfism av Lie-algebras.
$\dim {\mathfrak {g}}_{\alpha }=1$ ; i synnerhet, . $\dim {\mathfrak {g}}=\dim {\mathfrak {h}}+\#\Phi$
${\mathfrak {g}}_{2\alpha }=\{0\}$ ; med andra ord . $2\alpha \not \in \Phi$
Vid är underrymden och ortogonala mot varandra med avseende på Killing-formen. $\alpha +\beta \neq 0$ ${\mathfrak {g}}_{\alpha }$ ${\mathfrak {g}}_{\beta }$
Begränsningen av Killing-formen till är icke- degenererad. ${\mathfrak {h))$

Mängden kallas algebrarotsystemet . _ Det kan visas att det verkligen uppfyller rotsystemets axiom. I den kan man välja [9] grunden för de så kallade enkla rötterna så att varje element representeras som en heltals linjär kombination av enkla rötter, och antingen med alla icke-negativa koefficienter, eller med alla icke-positiva [ 10] . Det följer av teorin om representationer att man för var och en av dessa rötter kan välja element , normalisera dem på ett sådant sätt att och Det visar sig att de element som väljs på detta sätt genererar både en Lie-algebra. $\Phi$ $\mathfrak{g}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{l))$ $\Phi$ ${\mathfrak {sl}}_{2}$ $g_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{\alpha },f_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{-\alpha },h_{\alpha }= [e_{\alpha },f_{\alpha }]$ ${\displaystyle [h_{\alpha },e_{\alpha }]=2e_{\alpha ))$ $[h_{\alpha },f_{\alpha }]=-2f_{\alpha }.$ $3l$ $\mathfrak{g}$

Låt oss då uttryckligen beteckna alla relationer på dessa generatorer (Serre-relationerna) [11] : $a_{ij}=\alpha _{j}(h_{i}),$

[h_{i},h_{j}]=0,

[e_{i},f_{i}]=h_{i},[e_{i},f_{j}]=0,i\neq j,

[h_{i},e_{j}]=a_{ij}e_{j},[h_{i},f_{j}]=-a_{ij}f_{j},

\operatorname {ad} (e_{i})^{-a_{ij}+1}(e_{j})=\operatorname {ad} (f_{i})^{-a_{ij}+ 1}(f_{j})=0,i\neq j.

Serras sats säger att för vilken matrissom helst som är en Cartan-matris , eller, likvärdigt, för vilket rotsystem som helst, det finns en unik, upp till isomorfism, halvenkel finitdimensionell Lie-algebra [12] . Ett möjligt bevis på existens är konstruktionen av en Kac-Moody algebra . ${\displaystyle \{a_{ij}\))$

Således visar det sig att för att klassificera halvenkla änddimensionella Lie-algebror (över ett algebraiskt slutet fält med karakteristisk noll) räcker det med att klassificera rotsystem.

Klassificering

När man studerar rotsystem visar det sig vara möjligt att associera var och en av dem med ett orienterat Dynkin-diagram . Nedbrytningen av en halvenkel Lie-algebra till summan av enkla motsvarar nedbrytningen av ett frånkopplat diagram till en förening av sammankopplade komponenter (icke reducerbara diagram). Således reduceras problemet med klassificering till att ta reda på vilka irreducerbara Dynkin-diagram som kan vara diagram över något rotsystem.

Ett Dynkin-diagram med ett antal hörn motsvarar ett rankrotsystem om det är något av följande: [13] . $n$ $n$ $A_{n},B_{n},C_{n},D_{n},E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}$

Algebror som motsvarar serier kallas klassiska ; dessa är algebror , respektive. Diagram av dessa serier för små värden kan sammanfalla med varandra, vilket genererar isomorfa algebror, eller expandera till en summa av andra, det vill säga inte vara enkelt; för att utesluta dessa fall från listan kan du ta vid , vid , vid , vid [13] . $A_{n},B_{n},C_{n},D_{n},$ ${\mathfrak {sl}}_{n+1},{\mathfrak {so}}_{2n+1},{\mathfrak {sp}}_{2n},{\mathfrak {so}} _{2n}$ $n$ $En}$ $n\geqslant 1$ $B_{n}$ $n\geqslant 2$ $C_{n}$ $n\geqslant 3$ $D_{n}$ $n\geqslant 4$

De algebror som motsvarar diagrammen , , , kallas exceptionella . Vanligtvis betecknas motsvarande grupper med samma symbol som diagrammet och algebror med $E_{6}$ $E_7$ $E_8$ $F_{4}$ $G_{2}$ ${\mathfrak {e}}_{6},{\mathfrak {e}}_{7},{\mathfrak {e}}_{8},{\mathfrak {f}}_{4} ,{\mathfrak {g}}_{2}.$

För ett icke - algebraiskt stängt fält kan flera icke-isomorfa enkla Lie-algebror motsvara samma enkla Lie-algebra över en algebraisk stängning, så extra ansträngning krävs. I fallet med ett fält med reella tal ges en fullständig klassificering av Satake-diagram , som är Dynkin-diagram med ytterligare etiketter [14] .

Representationer av halvenkla Lie-algebror

Anteckningar

↑ Vinberg, 1988 , sid. 44.
↑ Vinberg, 1988 , sid. 60-61.
↑ Humphries, 2003 , sid. 38.
↑ Humphries, 2003 , sid. 44.
↑ Humphries, 2003 , sid. 93.
↑ 1 2 Humphreys, 2003 , sid. 52.
↑ Serre, 2000 , Ch. VI, §1.
↑ Humphries, 2003 , sid. 52-58.
↑ Humphries, 2003 , sid. 66.
↑ Humphries, 2003 , sid. 68.
↑ Humphries, 2003 , sid. 121.
↑ Humphries, 2003 , sid. 124-127.
↑ 1 2 Humphreys, 2003 , sid. 77.
↑ Knapp, 2002 , avsnitt VI.10.

Litteratur

Humphries J. Introduktion till lögnalgebras och representationsteori / per. från engelska. B.R. Frenkin. - M. : MTSNMO, 2003. - 214 sid. — ISBN 5-900916-79-0 . (ryska)
Vinberg E.B., Onishchik A.L. Seminarium om Lie-grupper och algebraiska grupper . - Moskva: Nauka, 1988. - 344 s. — ISBN 5-02-013721-9 . (ryska)
Serre J.-P. Komplexa halvenkla Lie -algebror . - Berlin: Springer, 2000. - 74 sid.
Knapp AM Lie grupper utöver en introduktion . — Birkhauser, 2002.