G2
Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 22 november 2021; verifiering kräver 1 redigering .G 2 i matematik är namnet på tre enkla Lie-grupper (komplexa, verkliga kompakta och verkliga uppdelade), Lie-algebra associerad med dem , samt flera algebraiska grupper . De är den minsta av de fem exceptionella enkla Lie-grupperna , av rang 2 och dimension 14, med trogna icke-triviala finita dimensionella linjära representationer . Totalt har G 2 två grundläggande representationer av dimensionerna 7 och 14, varav den första motsvarar en kort rot av G 2 - rotsystemet .
Den kompakta formen G 2 är automorfismgruppen av oktonjon (oktav) algebra , eller en undergrupp av SO(7) som lämnar en fixerad 8-dimensionell spinor (i dess spinorrepresentation) på plats.
Implementeringar
Det finns 3 enkla verkliga Lie-algebror associerade med ett givet rotsystem :
- Den rent verkliga Lie-algebra som ligger bakom den komplexa Lie-algebra G 2 är 28-dimensionell och enkelt sammankopplad. Komplex konjugation är dess yttre automorfism. Den maximala kompakta undergruppen av gruppen associerad med denna algebra är den kompakta formen av G 2 .
- Lie-algebra i kompakt form har dimension 14. Den associerade Lie-gruppen har inga yttre automorfismer , inget centrum och är helt enkelt sammankopplad och kompakt.
- Lie-algebra i sin icke-kompakta (separerade) form innehåller 14 dimensioner. Den associerade enkla Lie-gruppen har en grundläggande grupp av ordning 2, och dess yttre automorfismgrupp är en trivial grupp. Dess maximala kompakta undergrupp är SU(2)×SU(2)/(−1×−1). För denna grupp finns det en icke-algebraisk dubbel universell täckande grupp (enkelt sammankopplad).
Algebraiska egenskaper
Dynkins schema
Rotsystem G 2
Trots det faktum att rotvektorerna kan placeras i ett 2-dimensionellt utrymme, ser deras uttryck i tre koordinater, vars summa är noll, mer symmetriskt ut:
(1,−1,0), (−1,1,0) (1,0,−1), (−1,0,1), (0,1,−1), (0,−1,1), (2,−1,−1), (−2,1,1), (1,−2,1), (−1,2,−1), (1,1,−2), (−1,−1,2),och enkla positiva rotvektorer
(0,1,−1), (1,−2,1).Weyl / Coxeter-gruppen
För algebra G 2 är detta den dihedriska gruppen D 12 av ordning 12.
Cartan matris
Särskild holonomi
G 2 är en av de speciella grupperna som kan vara holonomigrupperna i den riemannska metriken . Sorter med G 2 -holonomi kallas G 2 -sorter .
Länkar
- John Baez , The Octonions , Avsnitt 4.1: G2 , Bull. amer. Matematik. soc. 39 (2002), 145-205 . Online HTML-version .
| Exceptionella enkla Lie-grupper | |
|---|---|
| Gruppteori | |
|---|---|
| Grundläggande koncept | |
| Algebraiska egenskaper | |
| ändliga grupper |
|
| Topologiska grupper | |
| Algoritmer på grupper | |