G 2 i matematik är namnet på tre enkla Lie-grupper (komplexa, verkliga kompakta och verkliga uppdelade), Lie-algebra associerad med dem , samt flera algebraiska grupper . De är den minsta av de fem exceptionella enkla Lie-grupperna , av rang 2 och dimension 14, med trogna icke-triviala finita dimensionella linjära representationer . Totalt har G 2 två grundläggande representationer av dimensionerna 7 och 14, varav den första motsvarar en kort rot av G 2 - rotsystemet .
Den kompakta formen G 2 är automorfismgruppen av oktonjon (oktav) algebra , eller en undergrupp av SO(7) som lämnar en fixerad 8-dimensionell spinor (i dess spinorrepresentation) på plats.
Det finns 3 enkla verkliga Lie-algebror associerade med ett givet rotsystem :
Trots det faktum att rotvektorerna kan placeras i ett 2-dimensionellt utrymme, ser deras uttryck i tre koordinater, vars summa är noll, mer symmetriskt ut:
(1,−1,0), (−1,1,0) (1,0,−1), (−1,0,1), (0,1,−1), (0,−1,1), (2,−1,−1), (−2,1,1), (1,−2,1), (−1,2,−1), (1,1,−2), (−1,−1,2),och enkla positiva rotvektorer
(0,1,−1), (1,−2,1).För algebra G 2 är detta den dihedriska gruppen D 12 av ordning 12.
G 2 är en av de speciella grupperna som kan vara holonomigrupperna i den riemannska metriken . Sorter med G 2 -holonomi kallas G 2 -sorter .
Exceptionella enkla Lie-grupper | |
---|---|
Gruppteori | |
---|---|
Grundläggande koncept | |
Algebraiska egenskaper | |
ändliga grupper |
|
Topologiska grupper | |
Algoritmer på grupper |