Sylows satser

I gruppteorin är Sylovs satser en ofullständig version av den omvända satsen till Lagranges sats och, för vissa delare av ordningen för gruppen G, garanterar att det finns undergrupper av denna ordning. Satserna bevisades av den norske matematikern Sylov 1872 .

Definitioner

Låta vara en ändlig grupp och låt vara ett primtal som delar ordningen på . Ordningsundergrupper kallas -undergrupper . $G$ $sid$ $G$ $p^t$ $sid$

Låt oss peka ut den maximala graden av , det vill säga där är inte delbart med , från gruppens ordning . Då är en Sylow -undergrupp en undergrupp av ordning . $G$ $sid$ $|G| = p^ns$ $s$ $sid$ $sid$ $G$ $p^{n}$

Satser

Låt vara en ändlig grupp. Sedan: $G$

Sylow -undergruppen finns. $sid$
Varje -undergrupp finns i någon Sylow -undergrupp. Alla Sylow -undergrupper är konjugerade (det vill säga var och en representeras som , där är ett element i gruppen och är en Sylow-undergrupp från sats 1). $sid$ $sid$ $sid$ $gPg^{-1}$ $g$ $P$
Antalet Sylow -undergrupper är jämförbart med unity modulo ( ) och dividerar , där och . $sid$ $N_p$ $sid$ $N_{p}\ekvivalent 1\;{{\rm {mod\,))}s$ $s$ $|G|=p^{k}s$ $(p,s)=1$

Konsekvens

Om alla divisorer , utom 1, efter att ha dividerat med ger en annan rest än enhet, så finns det en unik Sylow -undergrupp och den är normal (och till och med karakteristisk ). $|G|$ $sid$ $G$ $sid$

Till exempel: Låt oss bevisa att gruppen av order 350 inte kan vara enkel . , så Sylow 5-undergruppen har ordning 25. måste dela 14 och är kongruent med 1 modulo 5. Dessa villkor uppfylls endast av identiteten. Alltså i en Sylow 5-undergrupp, vilket betyder att det är normalt och därför inte kan vara enkelt. $350 = 2\cdot 5^2\cdot 7$ $N_5$ $G$ $G$

Bevis

Låt vara ordningens primära delare . $p^{n}$ $sid$ $G$

1. Vi bevisar satsen genom induktion på ordningen . När satsen är sann. Låt nu . Låt vara gruppens mittpunkt . Två fall är möjliga: $G$ $|G|=p$ $|G|>p$ $Z(G)$ $G$

a) delar . Sedan finns det en cyklisk grupp i mitten (som ett element i den primära nedbrytningen av mitten) som är normal i . Kvotgruppen av denna cykliska grupp har en lägre ordning än , därför innehåller den enligt induktionshypotesen en Sylow -undergrupp. Låt oss överväga dess prototyp i . Det kommer att vara Sylow -undergruppen vi behöver . $sid$ $|Z|$ $\langle a\rangle _{p^{k))$ $G$ $G$ $G$ $sid$ $G$ $sid$ $G$

b) delar inte . Betrakta sedan partitionen i konjugationsklasser : (eftersom om ett element ligger i mitten, så består dess konjugationsklass av det enbart). Ordningen är delbar med , så det måste finnas en klass vars ordning inte är delbar med . Motsvarande centraliserare har order , . Därför, enligt induktionshypotesen, finns det en Sylow -undergrupp i den - det kommer att vara den önskade. $sid$ $|Z|$ $G$ $|G| = |Z| + \summa |K_a|$ $G$ $sid$ $K_{a}$ $sid$ $Z_G(a)$ $p^{n}r$ $r<s$ $sid$

2. Låta vara en godtycklig -undergrupp av . Betrakta dess verkan på uppsättningen av vänster cosets genom vänsterskift, där är en Sylow -undergrupp. Antalet element i en icke-trivial bana måste vara delbart med . Men det är inte delbart med , vilket betyder att handlingen har en fast punkt . Vi får , och därför, , det vill säga ligger helt och hållet i någon Sylow -undergrupp. $H$ $sid$ $G$ $G/P$ $P$ $sid$ $sid$ $|G/P|$ $sid$ $gP$ $\forall h \in H \quad hga = ga',\quad a,a' \in P$ $h = ga'a^{-1}g^{-1} \in gPg^{-1}$ $H$ $sid$

Om dessutom är en Sylow -undergrupp, då är den konjugerad till . $H$ $sid$ $P$

3. Antalet Sylow p-undergrupper är [G:N G (P)], därför delar det |G|. Enligt sats 2 är mängden av alla Sylow p-undergrupper X = {gPg -1 }. Betrakta verkan av P på X genom konjugationer. Låt H från X vara en fast punkt under denna åtgärd. Då tillhör P och H normaliseraren för undergruppen H och är dessutom konjugerade i N G (H) som dess Sylow p-undergrupper. Men H är normal i sin normaliserare, så H = P och den enda fasta åtgärdspunkten är P. Eftersom ordningen för alla icke-triviala banor är multiplar av p, får vi . $N_p \equiv 1 \pmod sid$

Hitta Sylow-undergruppen

Problemet med att hitta en Sylow-undergrupp till en given grupp är ett viktigt problem inom beräkningsgruppteorin . För permutationsgrupper bevisade William Cantor att en Sylow p -undergrupp kan hittas i polynomtid i problemets storlek (i detta fall gruppens ordning , gånger antalet generatorer ).

Litteratur

A. I. Kostrikin. Introduktion till algebra, del III. Moskva: Fizmatlit, 2001.
E. B. Vinberg. Algebrakurs. M.: Factorial-Press, 2002.