Centraliserare och normaliserare

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 14 oktober 2018; kontroller kräver 4 redigeringar .

I matematik är centraliseraren för en delmängd S i en grupp G uppsättningen av element i G som pendlar med varje element av S , och normaliseringen av S är uppsättningen element av G som pendlar med S "som en helhet". Centraliseraren och normaliseraren S är undergrupper av G och kan belysa strukturen av G .

Определение применимо также к полугруппам .

I ringteorin definieras centraliseraren för en delmängd av en ring med avseende på semigruppoperationen (multiplikation). Delmängdscentraliseraren för R är en subring av R. Den här artikeln talar också om centraliserare och normaliserare i Lie-algebra .

Idealiseraren i en semigrupp eller ring är en annan konstruktion i samma veva som centraliseraren och normaliseraren.

Definitioner

Grupper och semigrupper

Centraliseraren för en delmängd S i en grupp (eller halvgrupp) G definieras som [1]

\mathrm{C}_G(S)=\{g\in G\mid sg=gs

för alla

s\in S\}

Ibland, i avsaknad av tvetydighet, definieras gruppen G helt av notationen. Om S ={ a } är en mängd som består av ett enda element, kan C G ({ a }) reduceras till C G ( a ). En annan, mindre vanlig, notation för centraliseraren är Z( a ), som drar en parallell med notationen för mitten av gruppen . Man måste här se till att inte förväxla mitten av G , Z( G ), med centraliseraren av ett element g i G , som betecknas Z( g ).

Normaliseraren S i gruppen (eller semigruppen) G är per definition lika med

\mathrm{N}_G(S)=\{ g \in G \mid gS=Sg \}

Definitionerna är likartade men inte identiska. Om g är en centraliserare av S och s tillhör S , så är emellertid , om g är en normaliserare, för vissa t i S , möjligen annorlunda än s . Samma konvention att utelämna G och parenteser för uppsättningar av ett enda element används också för normaliseraren. Normaliseraren ska inte förväxlas med normal stängning . $gs = sg$ $gs = tg$

Ringar, algebror, ringar och Lie algebror

Om R är en ring eller en algebra och S är en delmängd av en ring, så är centraliseraren för S exakt samma som definitionen för grupper, förutom att G ersätts med R .

Om är en Lie-algebra (eller en Lie-ring ) med en Lie-produkt [ x , y ], så definieras centraliseraren för delmängden S som [2] $\mathfrak{L}$ $\mathfrak{L}$

\mathrm{C}_{\mathfrak{L}}(S)=\{ x \in \mathfrak{L} \mid [x,s]=0

för alla

s\in S\}

Definitionen av centraliserare för Lie-ringar är relaterad till definitionen för ringar på följande sätt. Om R är en associativ ring, så kan man för R ställa in parentesprodukten [ x , y ] = xy − yx . Naturligtvis är xy = yx om och endast om [ x , y ] = 0. Om vi betecknar mängden R med hakparentesprodukt som L R , så är det tydligt att centraliseraren för ringen S i R sammanfaller med centreringen av Lie ring S i L R .

Normaliseraren för en delmängd S av en Lie-algebra (eller en Lie-ring) ges av likheten [2] $\mathfrak{L}$

\mathrm{N}_{\mathfrak{L}}(S)=\{ x \in \mathfrak{L} \mid [x,s]\in S

för alla

s\in S\}

Även om denna definition är standard för termen "normaliserare" i Lie-algebra, bör det noteras att denna konstruktion faktiskt är en idealiserare av en mängd S i . Om S är en additiv undergrupp av , då är den största Lie-subringen (eller Lie-subalgebra) där S är ett Lie- ideal . [2] $\mathfrak{L}$ $\mathfrak{L}$ $\mathrm{N}_{\mathfrak{L}}(S)$

Egenskaper

Semigrupper

Låt S ' vara en centraliserare, det vill säga för alla . Då: $S'=\{x\in A: sx=xs\$ $s\in S\}.$

S ′ bildar en underhalvgrupp .
$S' = S''' = S'''''$ — kommutatorn är dess bikommutant .

Grupper [3]

Centraliseraren och normaliseraren S är undergrupper av G.
Det är tydligt att C G (S)⊆ N G (S). Faktum är att C G ( S ) alltid är en normal undergrupp av N G ( S ).
C G ( C G (S)) innehåller S , men C G (S) innehåller inte nödvändigtvis S . C G (S) kommer att matcha S om st = ts för alla s och t från S . Naturligtvis, om H är en abelisk undergrupp av G , innehåller C G (H) H .
Om S är en undersemigrupp av G , så innehåller N G (S) S .
Om H är en undergrupp av G , så är den största undergruppen i vilken H är normal en undergrupp av NG (H) .
Mitten av G är exakt C G (G) och G är en abelsk grupp om och endast om C G (G)=Z( G ) = G .
För mängder som består av ett element, C G ( a )= N G ( a ).
Från symmetriprincipen, om S och T är två delmängder av G , T ⊆ C G ( S ) om och endast om S ⊆ C G ( T ).
För en undergrupp H i en grupp G , är faktorgruppen NG ( H )/ C G ( H ) isomorf till undergruppen Aut( H ) , automorfigruppen i gruppen H. Eftersom N G ( G ) = G och C G ( G ) = Z( G ) följer det också att G /Z( G ) är isomorf till Inn( G ), undergruppen av Aut( G ) som består av alla inre automorfismer av G. _
Om vi definierar en grupphomomorfism T : G → Inn( G ) genom att sätta T ( x )( g ) = T x ( g ) = xgx −1 , så kan vi beskriva N G ( S ) och C G ( S ) i handlingsvillkor för gruppen Inn( G ) på G : stabilisatorn S för Inn( G ) är T ( NG ( S )), och undergruppen Inn( G ) som fixerar S är T ( CG ( S )).

Ringar och algebror [2]

Centraliserare i ringar och algebror är subringar respektive subalgebror, och centraliserare i Lie-ringar och Lie-algebror är Lie-subringar respektive Lie-subalgebror.
Normaliseraren S i Lie-ringen innehåller centraliseraren S .
C R ( C R ( S )) innehåller S , men är inte nödvändigtvis samma som den. Den dubbla centraliseringssatsen behandlar fall där resultatet är en matchning.
Om S är en additiv undergrupp av en Lie-ring A , så är N A ( S ) den största Lie-underringen av A där S är ett Lie-ideal.
Om S är en Lie-underring av Lie-ringen A , då S ⊆ N A ( S ).

Se även

Växla
Undergruppsstabilisator
Norma (gruppteori)
Множители och централизаторы (банаховы пространства)
Dubbel centraliserare teorem
Idealizer

Anteckningar

↑ Jacobson, 2009 , sid. 41.
↑ 1 2 3 4 Jacobson, 1979 .
↑ Isaacs, 2009 .

Länkar

I. Martin Isaacs. Algebra: en forskarutbildning. — nytryck av 1994 års original. — Providence, RI: American Mathematical Society, 2009. — s. xii+516. — (Forskarstudier i matematik). - ISBN 978-0-8218-4799-2 .
Nathan Jacobson. Grundläggande algebra. - 2. - Dover, 2009. - T. 1. - ISBN 978-0-486-47189-1 .
Nathan Jacobson. Lögnalgebror. republicering av 1962 års original. - New York: Dover Publications Inc., 1979. - P. ix + 331. — ISBN 0-486-63832-4 .