Enkel grupp
En enkel grupp är en grupp som inte har några normala undergrupper förutom hela gruppen och identitetsundergruppen.
Finita enkla grupper klassificerades helt 1982.
I teorin om oändliga grupper är betydelsen av enkla grupper mycket mindre på grund av deras obegriplighet.
I teorin om Lie-grupper och algebraiska grupper skiljer sig definitionen av en enkel grupp något från den som ges, se enkel Lie-grupp .
Exempel
Finita enkla grupper
Den cykliska gruppen är enkel. Faktum är att om är en undergrupp av , då ordningen enligt Lagranges sats måste dela ordningen på , vilket är lika med 5. De enda divisorerna för 5 är 1 eller 5, det vill säga det är antingen trivialt eller sammanfaller med . Omvänt är gruppen inte enkel, eftersom mängden som består av talklasserna 0, 4 och 8 modulo 12 bildar en grupp av ordning 3, vilket är normalt som en undergrupp till den abelska gruppen. Heltalsgruppen med additionsoperationen är inte heller enkel, eftersom uppsättningen av jämna tal är en icke-trivial normal undergrupp av . Genom analoga resonemang kan man verifiera att alla möjliga enkla Abelia-grupper är exakt cykliska grupper av prime ordning.
Klassificeringen av enkla icke-abeliska grupper är mycket mer komplicerad. En enkel icke-abelisk grupp av den minsta ordningen är en alternerande grupp av ordning 60, och varje enkel grupp av ordning 60 är isomorf till . Dessutom är alla grupper med enkla . Nästa enkla icke-abeliska grupp efter antalet element är den speciella projektiva gruppen av ordning 168. Det kan bevisas att varje enkel grupp av ordning 168 är isomorf till .
Oändliga enkla grupper
Enkel är gruppen av alla jämna permutationer, som var och en flyttar en finit delmängd av element i en oändlig mängd ; i synnerhet, om mängden är räkningsbar, är den en oändlig alternerande grupp . En annan familj av exempel är , där fältet är oändligt och .
Det finns ändligt genererade och till och med ändligt presenterade oändliga enkla grupper.
Egenskaper
- Varje grupp är inbäddad i en enkel grupp.