En algebraisk grupp är en grupp som samtidigt är en algebraisk variant , och gruppoperationen och operationen att ta det inversa elementet är regelbundna mappningar av sorter.
När det gäller kategoriteori är en algebraisk grupp ett gruppobjekt i kategorin algebraiska varieteter.
Flera viktiga grupper av grupper kan förses med strukturen av en algebraisk grupp:
Omvänt är elliptiska kurvor ett exempel på algebraiska varianter som kan förses med strukturen av en algebraisk grupp.
Det finns två klasser av algebraiska grupper vars egenskaper är så välkända att de vanligtvis behandlas separat: Abeliska sorter och linjära algebraiska grupper . Det finns också algebraiska grupper som inte tillhör någon av dessa klasser - till exempel uppstår sådana grupper naturligt i teorin om generaliserade jakobier . Men enligt Chevalleys struktursats innehåller varje ansluten algebraisk grupp över ett perfekt fält en normal linjär algebraisk undergrupp vars kvot är en Abelisk varietet.
Enligt en annan grundläggande teorem medger varje grupp som är en affin algebraisk variation en trogen finitdimensionell representation , det vill säga det är en matrisgrupp med element i ett fält k , givet av polynomekvationer med koefficienter i k . Detta betyder att definitionen av en affin algebraisk grupp är redundant: man kan alltid använda dess mer specifika definition som en matrisgrupp.
Definitionen som ges ovan är endast lämplig för grupper över ett algebraiskt slutet fält. Det finns också "algebraiska grupper över en ring" definierade med hjälp av schemaspråket : ett gruppschema över en kommutativ ring R är ett gruppobjekt i kategorin scheman över R.
En algebraisk undergrupp av en algebraisk grupp är en undergrupp sluten i Zariski-topologin . En homomorfism av algebraiska grupper är en regelbunden kartläggning av motsvarande varieteter, som samtidigt är en grupphomomorfism ; en algebraisk undergrupp kan på samma sätt definieras som bilden av en injektiv homomorfism.