Linjär algebraisk grupp

En linjär algebraisk grupp är en undergrupp av gruppen inverterbara matriser (genom multiplikation ) som definieras av polynomekvationer . Ett exempel är den ortogonala gruppen definierad av , där är den transponerade matrisen M. $n\ gånger n$ $M^{T}M=1$ $M^T$

Många Lie-grupper kan ses som linjära algebraiska grupper över fältet av reella eller komplexa tal. (Till exempel kan vilken kompakt Lie-grupp som helst betraktas som en linjär algebraisk grupp över , liksom många icke-kompakta grupper som den enkla Lie-gruppen .) Simple Lie-grupper klassificerades av Wilhelm Killing och Elie Joseph Cartan på 1880 -talet och 1890-talet. På den tiden fäste de ingen vikt vid att strukturen i en grupp kan definieras av ett polynom , det vill säga att dessa är algebraiska grupper. Grundarna av teorin om algebraiska grupper var Maurer , Claude Chevalley och Kolchin [1] . På 1950 -talet byggde Borel det mesta av teorin om algebraiska grupper i sin moderna form. $\mathbb {R}$ $SL(n,\mathbb {R} )$

En av de första användningarna av teorin var definitionen av en grupp av Lie typ .

Exempel

För ett naturligt n är den fullständiga linjära gruppen GL ( n ) över fältet k , bestående av alla inverterbara matriser, en linjär algebraisk grupp över k . Den innehåller undergrupper: $n\ gånger n$

U\subset B\subset GL(n)

bestående av matriser av formen

\left({\begin{array}{cccc}1&*&\dots &*\\0&1&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &*\\0&\dots &0&1\end {array}}\right)

och .

\left({\begin{array}{cccc}*&*&\dots &*\\0&*&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &*\\0&\dots &0&*\end{array}}\right)

Gruppen kallas den multiplikativa gruppen . Det vill säga, gruppen är gruppen av k * element som inte är noll i fältet k genom multiplikation. Additivgruppen , med (genom addition), kan uttryckas som en matrisgrupp, till exempel som en undergrupp av U i GL (2): $G_{m}=GL(1)$ $G_{m}(k)$ $G_a$ $G_{a}(k)=k$

{\begin{pmatrix}1&*\\0&1\end{pmatrix}}.

Dessa två grundläggande exempel på kommutativa linjära algebraiska grupper, multiplikativa och additiva, beter sig väldigt olika när det gäller deras linjära representationer (som algebraiska grupper). Varje representation av en multiplikativ grupp är en direkt summa av irreducerbara representationer . (Deras irreducerbara representationer är alla av dimension 1 och har formen för ett heltal n .) I motsats till den multiplikativa gruppen är den enda irreducerbara representationen av en additiv grupp den triviala representationen. Så vilken representation som helst (som 2D-representationen ovan) är en itererad förlängning triviala representationer, inte en direkt summa (om inte representationen är trivial). Den strukturella teorin för linjära algebraiska grupper analyserar alla linjära algebraiska grupper i termer av dessa två grundläggande grupper och deras generaliseringar, tori och unipotenta grupper. $G_{m}$ ${\displaystyle x\mapsto x^{n))$ $G_a$ $G_a$

Definitioner

För ett algebraiskt slutet fält k kodas en betydande del av strukturen för en algebraisk variant X över k i dess mängd X ( k ), där k är rationella punkter , vilket tillåter en elementär definition av en linjär algebraisk grupp . Låt oss först definiera en funktion från den abstrakta gruppen GL ( n , k ) till k som regelbunden om den kan skrivas som ett polynom i elementen i matrisen A och i 1/det( A ), där det betyder determinanten . Då är en linjär algebraisk grupp G över ett algebraiskt slutet fält k en undergrupp G ( k ) av den abstrakta gruppen GL ( n , k ) för något naturligt n så att G ( k ) definieras genom att tilldela någon uppsättning reguljära funktioner till noll . $n\ gånger n$

För ett godtyckligt fält k definieras en algebraisk variation över k som ett specialfall av scheman över k . I detta språk är en linjär algebraisk grupp G över ett fält k ett jämnt slutet undergruppschema av gruppen GL ( n ) över k för något naturligt n . Speciellt definieras G genom att tilldela noll till någon uppsättning reguljära funktioner i GL ( n ) över k och dessa funktioner måste ha egenskapen att för varje kommutativ k - algebra är RG ( R ) en undergrupp till den abstrakta gruppen GL ( n , R ). (En sådan algebraisk grupp G över k är inte bara en abstrakt grupp G ( k ), utan snarare en hel familj av grupper G ( R ) för kommutativa k -algebror R ; detta är filosofin att beskriva ett schema med dess punktfunktion .)

På ett annat språk finns föreställningen om en homomorfism av linjära algebraiska grupper. Till exempel, om k är algebraiskt stängd, är homomorfismen från till en abstrakt grupp homomorfism , som definieras av reguljära funktioner på G. Detta tar linjära algebraiska grupper över k in i kategorin . I synnerhet definierar detta vad det betyder att två linjära algebraiska grupper är isomorfa . $G\subset GL(m)$ $H\subset GL(n)$ $G(k)\till H(k)$

I schemaspråket är en linjär algebraisk grupp G över ett fält k i synnerhet ett gruppschema över k , vilket betyder schema över k , tillsammans med k -punkten och morfismer $1\in G(k)$

m\colon G\times _{k}G\to G,\;i\colon G\to G

över k som uppfyller de vanliga axiomen för multiplikation (associativitet, identitet, reversibilitet). Den linjära algebraiska gruppen är också jämn och ändlig över k , och den är affin (som ett schema). Omvänt har varje affint gruppschema G av finit typ över ett fält k en trogen representation i GL ( n ) över k för något n [2] . Ett exempel är inbäddningen av en tillsatsgrupp i GL (2) som nämnts ovan. Som ett resultat kan man betrakta linjära algebraiska grupper antingen som matrisgrupper eller, mer abstrakt, som smidiga affina gruppscheman över ett fält. (Vissa författare använder termen "linjär algebraisk grupp" för alla affina gruppscheman av finit typ över ett fält.) $G_a$

För en fullständig förståelse av linjära algebraiska grupper kan man överväga mer generella (icke jämna) gruppscheman. Låt till exempel k vara ett algebraiskt slutet fält med karakteristiken p > 0. Då genererar homomorfismen som definieras av uttrycket en abstrakt gruppisomorfism , men f är inte en algebraisk gruppisomorfism (eftersom det inte är en reguljär funktion). I gruppschemats språk är anledningen till att f inte är en isomorfism tydlig - f är surjektiv, men har en icke-trivial kärna , nämligen gruppschemat med pth rötter av enhet. Detta problem uppstår inte när karakteristiken är noll. Dessutom är varje gruppschema av ändlig typ över ett fält k med karakteristisk noll jämn över k [3] . Ett gruppschema av ändlig typ över vilket fält k som helst är jämnt över k om och endast om det är geometriskt reducerat , vilket innebär att basförändringen reduceras , där är den algebraiska stängningen av fältet k [4] . ${\displaystyle f\colon G_{m}\to G_{m))$ ${\displaystyle x\mapsto x^{p))$ ${\displaystyle k^{\ast }\to k^{\ast ))$ $x^{\tfrac {1}{p}}$ $\mu _{p}$ $G_{\overline {k))$ ${\overline {k))$

Eftersom ett affint schema X definieras av dess ring O ( X ) av reguljära funktioner, definieras schemat för en affin grupp G över ett fält k av ringen O ( G ) med dess Hopf-algebrastruktur (som härrör från multiplikation och inversa mappningar på G ). Detta ger en kategoriekvivalens (inverterade pilar) mellan gruppscheman över k och kommutativa Hopf-algebror över k . Till exempel är Hopf-algebra som motsvarar den multiplikativa gruppen en Laurent-polynomring med comultiplication given av $G_{m}=GL(1)$ $k[x,x^{-1}]$

x\mapsto x\otimes x.

Grundläggande begrepp

För en linjär algebraisk grupp G över ett fält k , är identitetskomponenten G o ( den anslutna komponenten som innehåller punkten 1) en normal undergrupp med ändligt index . Så det finns en gruppförlängning

1\to G^{\circ }\to G\to F\to 1,

där F är en finit algebraisk grupp. (För en algebraiskt sluten k kan F identifieras med en abstrakt finit grupp.) Med tanke på detta fokuserar studiet av algebraiska grupper mest på sammankopplade grupper.

Olika begrepp från abstrakt gruppteori kan utvidgas till linjära algebraiska grupper. Det är lätt nog att definiera vad det betyder för en linjär algebraisk grupp att vara kommutativ , nilpotent eller beslutbar i analogi med definitioner i abstrakt gruppteori. Till exempel är en linjär algebraisk grupp lösbar om den har en sammansättningsserie av linjära algebraiska undergrupper så att kvotgrupperna är kommutativa. Även normaliseraren , mitten och centraliseraren för en sluten undergrupp H av en linjär algebraisk grupp G förstås naturligtvis som ett sluten gruppunderschema av gruppen G. Om de är jämna över k , så är de linjära algebraiska grupper enligt definitionen ovan.

Man kan fråga sig i vilken utsträckning egenskaperna hos en sammankopplad linjär algebraisk grupp G över ett fält k bestäms av den abstrakta gruppen G ( k ). Ett användbart resultat i denna riktning är att om fältet k är perfekt (t.ex. med karakteristisk noll), eller om gruppen G är reduktiv (som definieras nedan), så är G unirational över k . Så om dessutom k är oändlig är gruppen G ( k ) Zariski tät i G [5] . Till exempel, under ovanstående antaganden, är G kommutativ, nilpotent eller avgörbar om och endast om G ( k ) har motsvarande egenskap.

Anslutningsantagandet kan inte utelämnas från dessa resultat. Låt oss till exempel säga att G är gruppen av kubrötter av enhet över rationella tal . Då är G en linjär algebraisk grupp över vilken inte är Zariski tät i G eftersom det är en grupp av ordning 3. $\mu _{3}\subset GL(1)$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$ $G(\mathbb {Q} )=1$ $G({\overline {\mathbb {Q} }})$

Över ett algebraiskt stängt fält finns det ett mer rigoröst resultat om algebraiska grupper som algebraiska varianter - vilken linjär algebraisk grupp som helst över ett algebraiskt stängt fält är en rationell variant [6] .

Liealgebra för en algebraisk grupp

Lie-algebra för en algebraisk grupp G kan definieras på flera ekvivalenta sätt - som ett tangentrum till ett neutralt element eller som ett rum med vänsterinvarianta differentialer . Om k är algebraiskt stängd är en differential över k för koordinatringen för G vänsterinvariant om $\mathfrak g$ $T_{1}(G)$ $1\in G(k)$ $D\colon O(G)\to O(G)$

D\lambda _{x}=\lambda _{x}D

för valfritt x från G ( k ) där genererats av vänster multiplikation med x . För ett godtyckligt fält k definieras en vänsterinvariant differential som en analog av likheten mellan två linjära avbildningar [7] . Lie-parentesen för två differentialer definieras som . $\lambda _{x}\colon O(G)\to O(G)$ $O(G)\to O(G)\otimes O(G)$ $[D_{1},D_{2}]=D_{1}D_{2}-D_{2}D_{1}$

Att gå från G till är en differentieringsprocess . För ett element är derivatan i konjugationsmappningen en automorfism som ger den adjoint representationen : $\mathfrak g$ $x\in G(k)$ $1\in G(k)$ $G\to G,g\mapsto xgx^{-1}$ $\mathfrak g$

\operatorname {Ad} \colon G\to \operatorname {Aut} ({\mathfrak {g))).

Över ett fält med karakteristisk noll bestäms en sammankopplad undergrupp H av en linjär algebraisk grupp G unikt av dess Lie-algebra [8] . Men inte varje Lie-subalgebra motsvarar en algebraisk undergrupp G , vilket kan ses från exemplet med en torus över . I positiv karakteristik kan det finnas många olika sammankopplade undergrupper av G med samma Lie-algebra (återigen, torus ger ett exempel). Av denna anledning, även om Lie-algebra för en algebraisk grupp är viktig, kräver strukturteorin för algebraiska grupper mer globala medel. ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$ $\mathfrak g$ $G=(G_{m})^{2}$ $\mathbb {C}$ $G=(G_{m})^{2}$

Halvenkla och unipotenta element

För ett algebraiskt slutet fält k , sägs en matris g från GL ( n , k ) vara semisenkel om den är diagonaliserbar och unipotent om matrisen g −1 är nilpotent . På motsvarande sätt är g unipotent om alla egenvärden för g är 1. Det följer av Jordans normalform för matriser att vilket element g som helst i GL ( n , k ) kan skrivas unikt som en produkt så att det är semisenkelt, unipotent , och dessutom, och pendlar med varandra. ${\displaystyle g=g_{ss}g_{u))$ ${\displaystyle g_{ss))$ ${\displaystyle g_{u))$ ${\displaystyle g_{ss))$ ${\displaystyle g_{u))$

För vilket fält k som helst sägs ett element g av GL ( n , k ) vara halvenkelt om det blir diagonaliserbart över den algebraiska stängningen av fältet k . Om fältet k är perfekt, så ligger de semisimpla och unipotenta delarna av elementet g också i . Slutligen, för en linjär algebraisk grupp över ett fält k , definierar vi en k -punkt i gruppen G som semisimple eller unipotent om den är semisimple eller unipotent i . (Dessa egenskaper är i själva verket oberoende av valet av en exakt representation av G .) Om fältet k är perfekt, så ligger de semisenkla och unipotenta delarna av k -punkten i gruppen G automatiskt i G . Det vill säga ( Jordan-nedbrytning ) vilket element g som helst i gruppen G ( k ) kan unikt skrivas som en produkt i G ( k ) så att elementet är semisenkelt, unipotent och dessutom pendlar [ 9] . Detta reducerar problemet med att beskriva konjugationsklasser i G ( k ) till semisenkla och unipotenta fall. $GL(n,k)$ $G\subset GL(n)$ $GL(n,k)$ ${\displaystyle g=g_{ss}g_{u))$ ${\displaystyle g_{ss))$ ${\displaystyle g_{u))$ ${\displaystyle g_{ss))$ ${\displaystyle g_{u))$

Torah

En torus över ett algebraiskt slutet fält k betyder en grupp som är isomorf till produkten av n kopior av en multiplikativ grupp över k för något naturligt n . För en linjär algebraisk grupp G betyder termen maximal torus i G en torus i G som inte finns i någon annan större torus. Till exempel är gruppen av diagonala matriser i GL ( n ) över k en maximal torus i GL ( n ), isomorf . Det huvudsakliga resultatet av teorin är att vilka två maximala tori som helst i en grupp G över ett algebraiskt stängt fält k konjugeras av något element från G ( k ) [10] . Termen rang för en grupp G betyder dimensionen av varje maximal torus. $(G_{m})^{n}$ $(G_{m})^{n}$

För ett godtyckligt fält k betyder en torus T över k en linjär algebraisk grupp över k vars basförändring till den algebraiska stängningen av fältet k är isomorf över för något naturligt n . En delad torus över k betyder en grupp isomorf över k för något n . Ett exempel på en icke-delad torus över reella tal är $T_{\overline {k))$ $(G_{m})^{n}$ ${\overline {k))$ $(G_{m})^{n}$ $\mathbb {R}$

T=\{(x,y)\in A_{\mathbf {R} }^{2}:x^{2}+y^{2}=1\},

med gruppstrukturen som ges av formeln för multiplikation av komplexa tal x + iy . Här är T en torus av dimension 1 över . Den är odelad eftersom gruppen av reella punkter är en cyklisk grupp , som inte är isomorf ens som en abstrakt grupp . $\mathbb {R}$ $T(\mathbb {R} )$ ${\displaystyle G_{m}(\mathbb {R} )=\mathbb {R} ^{\ast ))$

Varje punkt på torus över fältet k är halvenkel. Omvänt, om G är en sammankopplad linjär algebraisk grupp så att vilket element som helst är halvenkelt, då är G en torus [11] . $G({\overline {k)))$

För en linjär algebraisk grupp G över ett allmänt fält k kan man inte förvänta sig att alla maximala tori i G över k är konjugerade av ett element från G ( k ). Till exempel visas både den multiplikativa gruppen Gm och den cykliska gruppen T ovan som maximal tori i SL (2) över . Det är dock alltid sant att två maximala delade tori i G över k (vilket betyder delad tori i G som inte finns i större delad tori) är konjugerade av något element från G ( k ) [12] . Som ett resultat är det meningsfullt att definiera k - ranken eller splittringen för en grupp G över k som dimensionen för varje maximal delad torus i G över k . $\mathbb {R}$

För varje maximal torus T i en linjär algebraisk grupp G över ett fält k , visade Grothendieck vad som är en maximal torus i [13] . Det följer av detta att alla två maximala tori i G över ett fält k har samma dimension, även om de kanske inte är isomorfa. $T_{\overline {k))$ $G_{\overline {k))$

Unipotenta grupper

Låta vara en grupp av övre triangulära matriser i över ett fält k med enhetsdiagonala poster. Ett gruppschema över ett fält k (såsom en linjär algebraisk grupp) sägs vara unipotent om det är isomorft till ett sluten gruppunderschema för något n . Det är lätt att kontrollera att gruppen är nilpotent. Som ett resultat är varje schema för en unipotent grupp nilpotent. $Fn}$ $GL(n)$ $Fn}$ $Fn}$

En linjär algebraisk grupp G över ett fält k är unipotent om och endast om något element i gruppen är unipotent [14] . $G({\overline {k)))$

Gruppen av övre triangulära matriser i är en halvdirekt produkt $B_{n}$ $GL(n)$

B_{n}=T_{n}\ltimes U_{n},

var är en diagonal torus . Mer allmänt är vilken ansluten löslig linjär algebraisk grupp som helst en halvdirekt produkt av en torus och en unipotent grupp [15] . $T_{n}$ $(G_{m})^{n}$ $T\ltimes U$

En jämnt sammankopplad unipotent grupp över ett perfekt fält k (till exempel ett algebraiskt slutet fält) har en sammansättningsserie med alla faktorgrupper som är isomorfa till den additiva gruppen [16] . $G_a$

Borel undergrupper

Borel-undergrupper är viktiga för strukturteorin för linjära algebraiska grupper. För en linjär algebraisk grupp G över ett algebraiskt slutet fält k betyder Borel-undergruppen av G den maximalt anslutna lösbara undergruppen. Till exempel är en av Borel-undergrupperna i gruppenundergruppen B i gruppen av övre triangulära matriser (alla poster under diagonalen är noll). $GL(n)$

Det grundläggande resultatet av teorin är att alla två Borel-undergrupper i en sammankopplad grupp G över ett algebraiskt slutet fält k konjugeras av något element från G ( k ) [17] . (Standardbeviset använder Borel Fixed Point Theorem : Om en sammankopplad lösbar grupp G verkar på en korrekt variant X över ett algebraiskt stängt fält k , finns det en k - punkt i X som förblir fixerad under åtgärden av gruppen G. ) Konjugering av Borel-undergrupper i GL ( n ) är ekvivalent med Lie–Kolchin-satsen — varje slät ansluten lösbar undergrupp av GL ( n ) är konjugerad till en undergrupp av en övre triangulär undergrupp i GL ( n ).

För ett godtyckligt fält k definieras en Borel-undergrupp B i en grupp G som en undergrupp över k så att, över den algebraiska stängningen av fältet k , är en Borel-undergrupp av gruppen . Då kan gruppen G ha eller inte ha en Borel-undergrupp över k . ${\overline {k))$ $B_{\overline {k))$ $G_{\overline {k))$

För ett sluten grupp underschema H i en grupp G är kvotutrymmet G / H ett jämnt kvasiprojektivt schema över k [18] . En jämn undergrupp P av en sammankopplad grupp G sägs vara parabolisk om G / P är en projektiv varietet över k (eller motsvarande, egentlig över k ). En viktig egenskap hos en Borel-undergrupp B är att G / B är en projektiv variant, kallad flaggvarietet för gruppen G. Det vill säga, Borel-undergrupper är paraboliska undergrupper. Mer exakt, för ett algebraiskt slutet fält k , är Borel-undergrupperna exakt de minimala paraboliska undergrupperna i gruppen G. Omvänt är varje undergrupp som innehåller en Borel-undergrupp parabolisk [19] . Således kan man räkna upp alla paraboliska undergrupper av G (upp till konjugation från G ( k )) genom att räkna upp alla linjära algebraiska undergrupper av G som innehåller en fast Borel-undergrupp. Till exempel inkluderar undergrupper över k som innehåller Borel-undergruppen B av övre triangulära matriser själva undergruppen B , hela gruppen GL (3) och mellanliggande undergrupper $P\subset GL(3)$

\left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\0&*&*\\0&*&*\end{bmatrix}}\right\}

och

\left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\*&*&*\\0&0&*\end{bmatrix}}\right\}.

De motsvarande projektiva homogena utrymmena är (respektive): flaggvarianten för alla kedjor av linjära delrum $GL(3)/P$

{\displaystyle 0\subset V_{1}\subset V_{2}\subset A_{k}^{3))

med dimension i ; punkt; det projektiva utrymmet för linjer (endimensionella vektordelrum ) i och det dubbla projektiva utrymmet för plan i . $V_i$ $\mathbb {P} _{2}$ $A_{3}$ $\mathbb {P} _{2}$ $A_{3}$

Halvenkla och reduktiva grupper

En sammankopplad linjär algebraisk grupp G över ett algebraiskt slutet fält sägs vara semisenkel om någon jämnt sammankopplad löslig normal undergrupp av G är trivial. Mer allmänt sägs en sammankopplad linjär algebraisk grupp G över ett algebraiskt slutet fält vara reduktiv om någon jämnt sammankopplad unipotent normal undergrupp av G är trivial [20] . (Vissa författare kräver inte att reduktiva grupper kopplas samman.) En halvenkel grupp är reduktiv. En grupp G över ett godtyckligt fält k kallas semisenkel eller reduktiv om den är semisenkel eller reduktiv. Till exempel är en matrisgrupp med determinant 1 över vilket fält k som helst semisenkel, medan en icke-trivial torus är reduktiv men inte semisenkel. På samma sätt är gruppen reduktiv, men inte halvenkel (eftersom dess centrum är en icke-trivial slät sammankopplad lösbar normal undergrupp). $G_{\overline {k))$ $SL(n)$ $n\ gånger n$ $GL(n)$ $G_{m}$

Varje kompakt sammankopplad Lie-grupp har en komplexisering , som är en komplex reduktiv algebraisk grupp. I själva verket ger denna konstruktion en en-till-en-överensstämmelse mellan kompakta anslutna Lie-grupper och komplexa reduktiva grupper upp till isomorfism [21] [22] .

En linjär algebraisk grupp G över ett fält k kallas enkel (eller k - enkel ) om den är semisenkel, icke-trivial, och varje jämnt ansluten normal undergrupp av G över k är trivial eller lika med G [23] . (Vissa författare kallar sådana grupper "nästan enkla".) Detta skiljer sig något från terminologin för abstrakta grupper genom att en enkel algebraisk grupp kan ha ett icke-trivialt centrum (även om centrum måste vara ändligt). Till exempel, för vilket heltal n som helst n inte mindre än 2 och vilket fält k som helst , är gruppen över k enkel, och dess centrum är gruppschemat för enhetens n :te rötter . $SL(n)$ $\mu _{n}$

Varje ansluten linjär algebraisk grupp G över ett perfekt fält k är (unikt) en förlängning av den reduktiva gruppen R med avseende på en jämn ansluten unipotent grupp U , kallad den unipotenta radikalen i gruppen G :

1\to U\to G\to R\to 1.

Om k har karakteristisk noll, så finns det en mer exakt Levi-sönderdelning — vilken som helst ansluten linjär algebraisk grupp G över k är en halvdirekt produkt av en reduktiv grupp och en unipotent grupp [24] . $R\ltimes U$

Klassificering av reduktiva grupper

Reduktiva grupper inkluderar i praktiken de viktigaste linjära algebraiska grupperna såsom de klassiska grupperna : , de ortogonala grupperna SO ( n ) och de symplektiska grupperna Sp ( 2n ). Å andra sidan är definitionen av reduktiva grupper "negativ" och det är inte klart vad som kan förväntas av dem. Chevalley gav en fullständig klassificering av reduktiva grupper över ett algebraiskt stängt fält - de bestäms av rotdata [25] . Särskilt enkla grupper över ett algebraiskt stängt fält k klassificeras (upp till en faktor av finita centrala gruppunderscheman) av deras Dynkin-diagram . Påfallande nog är denna klassificering inte beroende av egenskapen k . Till exempel kan exceptionella Lie-grupper definieras i vilken egenskap som helst (och till och med för vilket gruppschema som helst över ). Klassificeringen av enkla ändliga grupper säger att de flesta ändliga enkla grupper uppstår som en grupp av k - punkter i en enkel algebraisk grupp över ett ändligt fält k , eller som variationer av en sådan konstruktion. $GL(n),SL(n)$ ${\displaystyle G_{2},F_{4},E_{6},E_{7},E_{8))$ $\mathbb {Z}$

Varje reduktiv grupp över ett fält är en faktor av det finita centrala gruppschemat av produkten av en torus och några enkla grupper. Till exempel,

GL(n)\cong (G_{m}\times SL(n))/\mu _{n}.

För ett godtyckligt fält k sägs en reduktiv grupp G delas om den innehåller en maximal delad torus över k (det vill säga en delad torus i G som förblir maximal över den algebraiska stängningen av fältet k ). Till exempel är GL ( n ) en delad reduktiv grupp över vilket fält k som helst . Chevalley visade att klassificeringen av delade reduktiva grupper är densamma över alla fält. Däremot kan klassificeringen av godtyckliga reduktiva grupper vara svår beroende på det underliggande fältet. Till exempel, vilken icke-degenererad kvadratisk form q över ett fält k definierar en reduktiv grupp SO ( q ), och vilken central enkel algebra som helst A över k definierar en reduktiv grupp . Som ett resultat innebär problemet med att klassificera reduktiva grupper över k i huvudsak problemet med att klassificera alla kvadratiska former över k eller alla centrala enkla algebror över k . Dessa problem är lätta för en algebraiskt stängd k , och de är förståeliga för vissa andra fält, såsom nummerfält , men det finns många öppna frågor för fält av godtycklig form. $SL_{1}(A)$

Applikationer

Representationsteori

En anledning till vikten av reduktiva grupper kommer från representationsteorin. Varje irreducerbar representation av en unipotent grupp är trivial. Mer generellt, för alla linjära algebraiska grupper G skrivna som en förlängning

1\to U\to G\to R\to 1

med unipotent U och reduktiv R , går varje irreducerbar representation av gruppen G genom R [26] . Detta fokuserar uppmärksamheten på representationsteorin för reduktiva grupper. (För tydlighetens skull är representationerna som betraktas här representationer av gruppen G som en algebraisk grupp . Sedan för en grupp G över ett fält k , är representationerna representationer på k -vektorrum, och aktionerna för gruppen G ges av reguljära En viktig men helt annorlunda uppgift är klassificeringen av kontinuerliga grupprepresentationer för en verklig reduktiv grupp G och andra liknande problem över andra områden.) $SL(2,\mathbb {R} )$

Chevalley visade att irreducibla representationer av en delad reduktiv grupp över ett fält k har ändlig dimension och indexeras av dominerande vikter [27] . Detta är exakt samma sak som i representationsteorin för kompakta anslutna Lie-grupper eller den finita dimensionella representationsteorin för komplexa semisimpla Lie-grupper . För karakteristisk noll är alla dessa teorier i huvudsak ekvivalenta. I synnerhet är varje representation av en reduktiv grupp G över ett fält med karakteristisk noll en direkt summa av irreducerbara representationer, och om gruppen G delas, ges tecknen i de irreducibla representationerna av Weil-formeln för tecken . Borel-Weil-satsen ger en geometrisk konstruktion av irreducerbara representationer av en reduktiv grupp G med karakteristisk noll som mellanrum av sektioner av en linjebunt över flaggvarianten G / B .

Representationer av reduktiva grupper (andra än tori) över ett fält med positiv egenskap p är mycket mindre studerade. I denna situation är representationen inte nödvändigtvis en direkt summa av irreducerbara representationer. Och även om irreducerbara representationer indexeras med dominerande vikter, är dimensionerna och karaktärerna för irreducible representationer endast kända i vissa fall. Andersen, Jantzen och Sörgel [28] definierade dessa karaktärer (bevisar Lustigs gissning) när karakteristiken p är tillräckligt stor med hänsyn till gruppens Coxeter-tal . För små primtal p finns det inte ens en gissning.

Gruppåtgärder och geometrisk invariantteori

Verkan av gruppschemat en linjär algebraisk grupp G på en variation (eller schema) X över ett fält k är en morfism

G\times _{k}X\to X

som uppfyller gruppens handlingsaxiom . Liksom i andra typer av gruppteori är det viktigt att studera grupphandlingar, eftersom grupper uppstår naturligt som symmetrier av geometriska objekt.

En del av teorin om grupphandlingar är teorin om geometriska invarianter , vars mål är att konstruera en kvotvariant X / G som beskriver uppsättningen av banor för en linjär algebraisk grupp G på X som en algebraisk varietet. Olika svårigheter uppstår. Till exempel, om X är en affin variant, kan man försöka konstruera X / G som spektrumet för den invarianta ringen . Masayoshi Nagata visade dock att den invarianta ringen inte skulle genereras slutgiltigt som en k - algebra (och därför skulle ringens spektrum vara ett schema, inte en variation), vilket ger ett negativt svar på Hilberts fjortonde problem . I den positiva riktningen genereras invarianta ringar ändligt av Hebausch-satsen om G är reduktiv, vilket Hilbert och Nagata bevisade i karakteristiken noll. ${\displaystyle O(X)^{G))$

Geometrisk invariantteori upplever ytterligare subtila punkter när en reduktiv grupp G verkar på en projektiv varietet X. I synnerhet definierar teorin öppna delmängder av "stabila" och "semistabila" punkter från X med en faktoriell morfism definierad endast på uppsättningen av semistabla punkter.

Relaterade begrepp

Linjära algebraiska grupper tillåter variation i flera riktningar. Om vi utelämnar kravet på förekomsten av en invers avbildning får vi begreppet en linjär algebraisk monoid [29] . $i\colon G\to G$

Lögngrupper

För en linjär algebraisk grupp G över fältet av reella, är gruppen av reella punkter en Lie-grupp huvudsakligen eftersom de reella polynomen som beskriver multiplikation i G är jämna funktioner . På samma sätt, för en algebraisk grupp är G över en komplex Lie-grupp . Mycket av teorin om algebraiska grupper har utvecklats i analogi med Lie-grupper. $\mathbb {R}$ $SL(2,\mathbb {R} )$ $C,SL(2,\mathbb {C} )$

Det finns flera anledningar till varför en Lie-grupp kanske inte har strukturen som en linjär algebraisk grupp över . $\mathbb {R}$

En Lie-grupp med en oändlig grupp av komponenter G/G o kan inte realiseras som en linjär algebraisk grupp.
En algebraisk grupp G över kan kopplas som en algebraisk grupp, medan en Lie-grupp inte är kopplad som för helt enkelt sammankopplade grupper. Till exempel är en algebraisk grupp SL (2) helt enkelt kopplad över vilket fält som helst om Lie-gruppen har en fundamental grupp som är isomorf till heltal . Det dubbla höljet H för gruppen , känd som den metaplektiska gruppen , är en Lie-grupp som inte kan betraktas som en linjär algebraisk grupp över . Mer strikt, H har inte en ändlig-dimensionell exakt representation. $\mathbb {R}$ $SL(2,\mathbb {R} )$ $SL(2,\mathbb {R} )$ $\mathbb {Z}$ $SL(2,\mathbb {R} )$ $\mathbb {R}$
Anatoly I. Maltsev visade att vilken enkel enkel nilpotent Lie-grupp som helst kan betraktas som en unipotent algebraisk grupp G över en unik bild [30] . (Som en mångfald är G isomorft till ett affint utrymme av någon dimension över .) Däremot finns det helt enkelt sammankopplade lösbara Lie-grupper som inte kan betraktas som verkliga algebraiska grupper. Till exempel har det universella höljet H för en halvdirekt produkt ett centrum som är isomorft till , vilket inte är en linjär algebraisk grupp, och därför kan H inte betraktas som en linjär algebraisk grupp över . $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $S^{1}\ltimes \mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {R}$

Abeliska sorter

Algebraiska grupper som inte är affina beter sig väldigt olika. I synnerhet kallas ett smidigt sammankopplat gruppschema som är en projektiv varietet över ett fält en Abelisk varietet . Till skillnad från linjära algebraiska grupper är alla abeliatiska varianter kommutativa. Abeliska sorter har dock en rik teori. Även fallet med elliptiska kurvor (Abeliska varianter av dimension 1) är centralt för talteorin och har tillämpningar inklusive beviset för Fermats sista teorem .

Tannakian kategorier

Finita-dimensionella representationer av en algebraisk grupp G , tillsammans med tensorprodukten av representationer, bildar Tannakie-kategorin Rep G . Faktum är att Tannakian-kategorier med en "lagerfunktion" över ett fält är likvärdiga med affina gruppscheman. (Varje gruppaffinschema över ett fält k är proalgebraisk i den meningen att det är den projektiva gränsen för affingruppsscheman av finit typ över k [31] ). Till exempel är Mumford-Tate-gruppen och den motiviska Galois-gruppen konstruerade med hjälp av denna formalism. Vissa egenskaper hos en (pro-)algebraisk grupp G kan erhållas från dess representationskategori. Till exempel, över ett fält med karakteristisk noll är Rep G en halvenkel kategori om och endast om identitetskomponenten i gruppen G är reducerbar [32] .

Se även

Lietypgrupper är ändliga enkla grupper konstruerade från enkla algebraiska grupper över ändliga fält.
Lengs sats
Generaliserad flaggmanifold , Bruhat-nedbrytning , Par (B, N) , Weil-grupp , Cartan-undergrupp , adjoint typgrupp , Parabolinduktion
Verklig form (Lögnteori) , Satake-diagram
Algebraisk grupp av adeles , Weils gissning om Tamagawa-tal
Langlands Classification , Langlands Program , Langlands Geometric Program
Torsor , Non-Abelian cohomology , Special group , Cohomological invariant , Basic dimensions , Kneser-Tits-förmodan , Serra II-förmodan
Pseudo-reduktiv grupp
Differential Galois teori

Anteckningar

↑ Kolchin, 1948 .
↑ Milne, 2017 , sid. Följd 4.10.
↑ Milne, 2017 , sid. Följd 8,39.
↑ Milne, 2017 , sid. Proposition 1.26(b).
↑ Borel, 1991 , sid. Sats 18.2, följd 18.4.
↑ Borel, 1991 , sid. Not 14.14.
↑ Milne, 2017 , sid. avsnitt 10.e.
↑ Borel, 1991 , sid. avsnitt 7.1.
↑ Milne, 2017 , sid. Sats 9.18.
↑ Borel, 1991 , sid. Följd 11.3.
↑ Milne, 2017 , sid. Följd 17.25.
↑ Springer, 1998 , sid. Sats 15.2.6.
↑ Borel, 1991 , sid. 18.2(i).
↑ Milne, 2017 , sid. Följd 14.12.
↑ Borel, 1991 , sid. Sats 10.6.
↑ Borel, 1991 , sid. Sats 15.4(iii).
↑ Borel, 1991 , sid. Sats 11.1.
↑ Milne, 2017 , sid. Satserna 7.18, 8.43.
↑ Borel, 1991 , sid. Följd 11.2.
↑ Milne, 2017 , sid. Definition 6.46.
↑ Bröcker, tom Dieck, 1985 , sid. avsnitt III.8.
↑ Conrad, 2014 , sid. avsnitt D.3.
↑ Conrad, 2014 , sid. Proposition 5.1.17.
↑ Conrad, 2014 , sid. Proposition 5.4.1.
↑ Springer, 1998 , sid. 9.6.2, 10.1.1.
↑ Milne, 2017 , sid. Lemma 19.16.
↑ Milne, 2017 , sid. Sats 22.2.
↑ Andersen, Jantzen, Soergel, 1994 .
↑ Renner, 2006 .
↑ Milne, 2017 , sid. Sats 14.37.
↑ Deligne, Milne, 1982 , sid. Följd II.2.7.
↑ Deligne, Milne, 1982 , sid. Anmärkning II.2.28.

Litteratur

Henning Haahr Andersen, Jens Carsten Jantzen, W. Soergel. Representationer av kvantgrupper vid roten till enhet och av halvenkla grupper i kännetecken p : Oberoende av p . - Société Mathématique de France , 1994. - Vol. 220. - (Asterisque).
Armand Borel . Linjära algebraiska grupper. — 2:a. - New York: Springer-Verlag, 1991. - ISBN 0-387-97370-2 . 1969 nyutgivning
- A. Borel. Linjära algebraiska grupper. - Moskva: Mir, 1972.
Theodor Brocker, Tammo tom Dieck. Representationer av Compact Lie Groups. - Springer Nature , 1985. - ISBN 0-387-13678-9 .
Brian Conrad. Reduktiva gruppscheman // Autour des schémas en groups . - Paris: Société Mathématique de France , 2014. - Vol 1. - S. 93–444. - ISBN 978-2-85629-794-0 .
Pierre Deligne , James S. Milne. Tannakian-kategorier // Hodge-cykler, motiv och Shimura-varianter . - Springer Nature , 1982. - T. 900. - S. 101-228. — (Föreläsningsanteckningar i matematik). — ISBN 3-540-11174-3 .
James E. Humphreys. Linjära algebraiska grupper. - Springer, 1975. - ISBN 0-387-90108-6 .
Kolchin ER Algebraiska matrisgrupper och Picard-Vessiot-teorin om homogena linjära vanliga differentialekvationer // Annals of Mathematics . - 1948. - T. 49 . — S. 1–42 . — ISSN 0003-486X . - doi : 10.2307/1969111 .
Milne J.S. Algebraic Groups: Theory of Group Schemes of Finite Type over a Field . - Cambridge University Press , 2017. - ISBN 978-1107167483 .
Tony A. Springer. Linjära algebraiska grupper. — 2:a. - New York: Birkhäuser, 1998. - ISBN 0-8176-4021-5 . 1981 nyutgivning
Lex Renner. Linjära algebraiska monoider. - Springer, 2006. - (Encyclopaedia of Mathematical Sciences). — ISBN 3-540-24241-4 .

Ytterligare läsning

Linjär algebraisk grupp / Michiel Hazewinkel, red.. - Springer Science + Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, 2001. - (Encyclopedia of Mathematics). - ISBN 978-1-55608-010-4 .

Gruppteori
Grundläggande koncept	Undergrupp Normal undergrupp Faktorgrupp Arbete direkt halvdirekt fri
Algebraiska egenskaper	kommutativ grupp Cyklisk grupp beställd grupp Förvandla grupp Lösbar grupp Schreiers Lemma Lagranges sats Sylows satser Klassificering av enkla ändliga grupper
ändliga grupper	Finit cyklisk grupp C n Symmetrisk grupp S n Dihedral grupp D n Alternerande grupp A n Klein Quadruple Group Mathieu-grupper M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway grupper Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko grupper J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Fisher grupper F22 _ F 23 F24 _ Monster (M)
Topologiska grupper	Lögngrupper Ortogonal grupp O(n) Special ortogonal grupp SO(n) Enhetsgrupp U(n) Särskild enhetlig grupp SU(n) Symplektisk grupp Sp(n) Exceptionellt enkelt Lorentz grupp Poincaré-gruppen
Algoritmer på grupper	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fouriertransform