Tangent utrymme av Zariski

Zariski tangentrymden är en konstruktion inom algebraisk geometri som låter dig konstruera ett tangentrum vid en punkt i en algebraisk variant . Denna konstruktion använder inte metoderna för differentialgeometri , utan bara metoderna för allmän och, i mer specifika situationer, linjär algebra .

Motivation

Betrakta en plan algebraisk kurva som ges av polynomekvationen

F(x,y)=0.

Låt oss beskriva tangentutrymmet till denna kurva vid origo. Vi tar bort från ekvationen alla ordningsvillkor större än den första, ekvationen finns kvar

axe+by=0.

Två fall är möjliga: antingen , i vilket fall tangentrymden definieras som hela det affina planet (alla dess punkter uppfyller ekvationen ovan), i vilket fall ursprunget är en singulär punkt på kurvan. Annars är tangentrymden en linje som behandlas som ett endimensionellt affint utrymme. (Närmare bestämt finns det inget origo i det ursprungliga affina planet. Men när man definierar tangentrymden i punkten p , är det naturligt att välja origo vid denna punkt.) $a=b=0$

Definition

Det cotangenta utrymmet för en lokal ring med maximal ideal m definieras som $R$

{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}

där m 2 är produkten av ideal . Kotangensutrymmet är vektorutrymmet över restfältet . Vektorutrymmet som är dubbelt till det kallas tangentutrymmet R [1] . $k=R/{\mathfrak {m))$

Denna definition generaliserar exemplet ovan till högre dimensioner. Grovt sett är ringen av funktionsbakterier vid punkten p . Denna ring är lokal, och dess maximala ideal är bakterierna till funktioner lika med noll i p (det maximala idealet för en lokal ring består exakt av irreversibla element). Eftersom punkten p tillhör mångfalden är vi bara intresserade av elementen m , faktorisering med m 2 motsvarar elimineringen av termer av stora potenser. Eftersom vi började med en ring av funktioner, motsvarar "linjära funktionaler" på tangentrummet, det vill säga rummet dual till tangenten. $R$ ${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$

Tangentutrymmet och kotangensutrymmet till schemat X i punkten P är (sam)tangensutrymmet för den lokala ringen . På grund av funktionaliteten hos Spec inducerar den naturliga faktoriseringskartan en homomorfism , där X =Spec( R ), P är punkten för Y =Spec( R/I ). Denna homomorfism används ofta för inbäddning i [2] (till exempel är tangentrymden för ett grenrör inbäddat i ett affint utrymme naturligt inbäddat i tangentutrymmet i ett affint utrymme). Eftersom fältmorfismer är injektiva är surjektion av restfält inducerad av g en isomorfism . Således inducerar g en morfism av k tangentrum, eftersom $T_{P}(X)$ $T_{P}^{*}(X)$ ${\mathcal {O}}_{X,P}$ $f:R\rightarrow R/I$ $g:{\mathcal {O}}_{X,f^{-1}(P)}\rightarrow {\mathcal {O}}_{Y,P}$ $T_{P}(Y)$ $T_{f^{-1}P}(X)$

{\mathfrak {m}}_{P}/{\mathfrak {m}}_{P}^{2}

\cong ({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/I)/(({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2} +I)/I)

\cong {\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2}+I)

\cong ({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/{\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2})/\mathrm { Ker}(k).

Eftersom k är surjektiv (är en faktoriseringshomomorfism), är den dubbla linjära mappningen injektiv (är en inbäddning). $k^{*}:T_{P}(Y)\rightarrow T_{f^{-1}P}(X)$

Analytiskt fall

Om V är en undergren av ett n -dimensionellt vektorrum definierat av det ideala I (idealet för funktioner lika med noll på detta grenrör), motsvarar ringen R ringen F n / I , där F n är ringen av bakterier av släta/analytiska/holomorfa funktioner på vektorrummet är jag bakterier till funktioner från idealet. Då är Zariski tangentrymden i punkten x

{\mathfrak {m}}_{x}/(I+{\mathfrak {m}}_{x}^{2}),

där är idealet för funktioner av motsvarande typ, lika med noll i punkten x . ${\mathfrak {m}}_{x}$

I exemplet med den algebraiska kurvan, , och $I=(f)$ $(I+{\mathfrak {m}}_{x}^{2})=(ax+by+{\mathfrak {m}}_{x}^{2}).$

Egenskaper

Om R är en noeterisk lokal ring, är dimensionen på tangentrymden inte mindre än dimensionen av R :

\mathrm {dim} \;{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\geqslant \mathrm {dim} \;R.

R kallas en vanlig ring om jämställdheten håller. Om den lokala ringen av en sort V är regelbunden vid en punkt x , sägs x vara en regelbunden punkt för sorten. Annars kallas x en singular punkt .

Det finns en tolkning av tangentrummet med hjälp av homomorfismer in i ringen av dubbla tal. I schemaspråket motsvarar morfismer från Spec k[t]/t 2 till ett schema X över k att välja en rationell punkt x ∈ X (k) (punkter med koordinater från fältet k ) och ett element tangentrum i punkten x [3] . Därför är det vettigt att kalla dessa morfismer för tangentvektorer . $k[t]/(t^{2}).$

Anteckningar

↑ Eisenbud, 1998 , I.2.2, sid. 26.
↑ Smoothness and the Zariski Tangent Space , James McKernan, 18.726 Våren 2011 Arkiverad 19 februari 2018 på Wayback Machine Lecture 5
↑ Hartshorne, 1977 , Övning II 2.8.

Litteratur

Hartshorne R. Algebraisk geometri. — M.: Mir, 1981.
David Eisenbud; Joe Harris (1998). Schemens geometri. Springer-Verlag. — ISBN 0-387-98637-5 .
Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9 , MR 0463157

Länkar

Zariski tangentrymd . VI Danilov , Encyclopedia of Mathematics.