Vanlig lokal ring

En vanlig lokal ring är en Noetherisk lokal ring så att antalet generatorer av dess maximala ideal sammanfaller med Krull-dimensionen . Namnet reguljär förklaras av geometriska skäl. En punkt av en algebraisk variant är icke- singular ( regelbunden ) om och endast om den lokala ringen av bakterier av rationella funktioner vid punkten är regelbunden. $x$ $X$ $\mathcal{O}_{X, x}$ $x$

Motsvarande definitioner

Det finns flera användbara definitioner av en vanlig lokal ring. I synnerhet, om är en Noetherian lokal ring med maximal ideal , är följande definitioner ekvivalenta: $A$ $\mathfrak m$

Låt där väljas så liten som möjligt (i alla fall kan n inte vara mindre än Krull-dimensionen). regelbundet om $\mathfrak{m} = (a_1, \ldots, a_n)$ $n$ $A$

\mbox{dim} A = n.

Låt vara ringens restfält . Sedan regelbundet om $k = A / \mathfrak{m}$ $A$ $A$

\dim _{k}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}=\dim A

, Här är den första dimensionen dimensionen av vektorrummet, och den andra är Krull-dimensionen.

Låt vara den globala dimensionen (det vill säga det högsta av de projektiva dimensionerna för alla -moduler .) Sedan regelbundet om $\mbox{gl dim } A$ $A$ $A$ $A$

{\mbox{gl dim }}A<\infty

, i detta fall sammanfaller alltid med Krull-dimensionen.

\mbox{gl dim } A

Exempel

Varje fält är en vanlig lokal ring. Faktum är att fält är exakt vanliga lokala ringar med dimension 0.
Vanliga lokala ringar av dimension 1 är just de diskreta värderingsringarna . I synnerhet är ringen av formella potensserier ( k är ett godtyckligt fält) en vanlig lokal ring. Ett annat exempel är ringen av p -adiska tal . $k[[x]]$
Mer generellt är en formell kraftseriering en vanlig lokal ring med dimensionen d . $k[[x_{1},x_{2},\cdots ,x_{d}]]$
Om A är en regelbunden ring (se definitionen nedan ) är ringen av polynom och ringen av formella potensserier regelbundna. $Yxa]$ $A[[x]]$
Varje lokalisering av en vanlig ring är regelbunden. Till exempel är en tvådimensionell vanlig ring som inte innehåller något fält. $\mathbb Z[x]_{(2,x)}$
Kompletteringen av en vanlig ring är regelbunden.

Egenskaper

Auslander-Buchsbaums sats säger att varje vanlig lokal ring är faktoriell.

Om är en komplett vanlig lokal ring som innehåller något fält, då $(A,\mathfrak{m})$

A \cong k[[x_1, \ldots, x_d]]

där , och är Krull-dimensionen. $k = A / \mathfrak{m}$ $d$

Ursprunget till grundläggande definitioner

Definitionen av en vanlig lokal ring gavs av Wolfgang Krull 1937, [1] men de blev kända tack vare Oskar Zariskis arbete [2] [3] som bevisade att vanliga lokala ringar motsvarar släta punkter av algebraiska varianter. Låt Y vara en algebraisk variation som finns i ett n -dimensionellt affint utrymme över ett perfekt fält definierat som en uppsättning gemensamma nollor av polynom (i n variabler) f 1 ,..., f m . Y är singular vid en punkt P om rankningen av Jacobi -matrisen (matris (∂ fi / ∂ x j )) vid denna punkt är lägre än vid en annan punkt i grenröret. Dimensionen på grenröret är lika med skillnaden mellan n och rangordningen för den jakobiska matrisen vid en icke-singular punkt. Zariski bevisade att Jacobi-matrisen P är icke-singular om och endast om den lokala ringen av Y i P är regelbunden. (Zariski noterade också att detta inte nödvändigtvis är sant över ofullkomliga fält.) Det följer att jämnhet är en inneboende egenskap hos grenröret, det vill säga att det inte beror på grenrörets speciella inbäddning i ett affint utrymme. På 1950-talet bevisade Auslander och Buchsbaum att en vanlig lokal ring är faktoriell.

Många egenskaper hos lokala ringar förblev obevisade fram till den tidpunkt då motsvarande tekniker för homologisk algebra dök upp . Jean-Pierre Serre hittade en beskrivning av vanliga lokala ringar i homologiska termer: en lokal ring A är regelbunden om och bara om den har en ändlig global dimension . Det är lätt att bevisa att ändlighetsegenskapen för den globala dimensionen förblir oförändrad under lokalisering. Detta gör att man kan definiera regelbundenhet för alla ringar, inte nödvändigtvis lokala: en ring A kallas regelbunden om dess lokalisering med avseende på ett godtyckligt primideal är en vanlig lokal ring. Detta motsvarar att säga att A har en ändlig global dimension. I synnerhet är alla Dedekind-ringar vanliga.

Anteckningar

↑ Krull, Wolfgang (1937), Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche III, Math. Z .: 745–766
↑ Zariski, Oscar (1940), Algebraiska varianter över markfält med karakteristisk 0, Amer. J Math. T. 62: 187–221
↑ Zariski, Oscar (1947), Begreppet en enkel punkt i en abstrakt algebraisk variant, Trans. amer. Matematik. soc. T. 62: 1–52

Litteratur

Jean-Pierre Serre , Lokal algebra, Springer-Verlag , 2000 - ISBN 3-540-66641-9 . Kapitel IV.D.