Upplösning (homologisk algebra)

Resolventet är ett av de viktiga verktygen för homologisk algebra , i synnerhet används det för att beräkna funktorerna Ext och Tor .

Projektiv upplösning

Ett komplex ( X , e ) över en R -modul C är en sekvens

$\cdots~X_{n+1}\stackrel{d_{n+1}}{\longrightarrow}X_{n}\stackrel{d_{n}}{\longrightarrow}~\cdots~\stackrel{d_{2} }{\longrightarrow}X_{1}\stackrel{d_{1}}{\longrightarrow}X_{0}\stackrel{\varepsilon}{\longrightarrow}C{\longrightarrow}0$ (*)

så att produkten av två på varandra följande homomorfismer är lika med 0. Om alla X är fria kallas komplexet fritt, om alla är projektiva kallas det projektiva. Om sekvensen (*) är exakt , det vill säga all homologi Hn ( X ) = ker d n /im d n +1 = 0 för n > 0 och H 0 ( X ) = ker d 0 /im d 1 = X 0 / im d 1 = X 0 /ker ε är isomorft till C (förutsatt att d 0 : X 0 → 0 ), då kallas detta komplex för upplösningsmedlet av R . Eftersom vilken modul C som helst är en kvotmodul av en fri, kan vilken modul C som helst inkluderas i någon fri (och dessutom projektiv) upplösning.

Det minsta indexet k så att alla Xn är noll för n > k kallas längden på resolventet . En moduls projektiva dimension är den minsta längden av dess projektiva upplösning. Till exempel är en projektiv modul exakt en modul med projektiv dimension 0.

Funktionerna Ext n hittas enligt följande teorem: Om C och A är R - moduler och ε : X → C är vilken projektiv upplösning som helst av C , så är Ext n ( C , A ) isomorf till kohomologigruppen H n ( X , A ) = Hn ( HomR ( X , A ) ) . Funktionerna Tor n hittas enligt följande teorem: Om C och A är R -moduler och ε : X → C är vilken projektiv upplösning som helst av C , så är Tor n ( C , A ) isomorf till homologigruppen H n ( X⊗RA ) . _ _ _

Injektiv upplösning

Ett komplex ( Y , ε ) under en R -modul A är en sekvens:

$0{\longrightarrow}A\stackrel{\varepsilon}{\longrightarrow}Y^{0}\stackrel{\delta^{1}}{\longrightarrow}Y^{1}\stackrel{\delta^{2}} {\longrightarrow}~...~\stackrel{\delta^{n}}{\longrightarrow}Y^{n}\stackrel{\delta^{n+1}}{\longrightarrow}Y^{n+1 }{\longrightarrow}~\cdots$ (**)

så att produkten av två på varandra följande homomorfismer är 0. Om alla Y är injektiva sägs komplexet vara injektivt. Om sekvensen (**) är exakt, det vill säga all kohomologi H n ( Y ) = ker δ n +1 /im δ n = 0 för n > 0 och H 0 ( Y ) = ker δ 1 /im δ 0 = ker δ 1 = im ε är isomorft till A (förutsatt att δ 0 : 0 → Y 0 ), då kallas detta komplex för ett kärnupplösningsmedel (vanligtvis, i detta fall, utelämnas "ko" och man talar om en injektiv upplösning) . Eftersom vilken modul A som helst är en undermodul till ett injektiv, och så vidare, kan vilken modul A som helst inkluderas i någon injektiv upplösning.

Funktionerna Ext n hittas enligt följande teorem: Om C och A är R - moduler och ε : A → Y är vilken som helst injektiv upplösning av A , så är Ext n ( C , A ) isomorf till kohomologigruppen H n ( Hom R ( C , Y )) .

Litteratur

Cartan A. , Eilenberg S. Homologisk algebra. - M: IL, 1960
McLane S. Homology. - M: Mir, 1966