Funktionsext

Funktionerna Ext är härledda funktorer från funktorn Hom . De dök först upp i homologisk algebra , där de spelar en central roll, såsom den universella koefficientsatsen , men de används nu inom många olika områden av matematiken.

Denna funktion dyker upp naturligt i studiet av modultillägg . Namnet kommer från engelska. förlängning - förlängning.

Motivation: modultillägg

Ekvivalens av tillägg

Låt A vara en abeliaansk kategori . Enligt Mitchells inbäddningssats , kan vi anta att vi arbetar med kategorin moduler. En förlängning av ett objekt Z med ett objekt X är en kort exakt följd av formen

0\to X\to Y\to Z\to 0

Två förlängningar

0\to X\to Y\to Z\to 0

0\to X\to Y'\to Z\to 0

sägs vara likvärdiga om det finns en morfism som gör diagrammet $g:Y\to Y'$

{\begin{matrix}0&\to &X&\to &Y&\to &Z&\to &0\\&&\downarrow \operatorname {id} &&\downarrow g&&\downarrow \operatorname {id} \\0&\to &X&\ till &Y'&\to &Z&\to &0\end{matris}}

kommutativ, var är identitetsmorfismen. Enligt ormlemma är g en isomorfism. $\operatörsnamn {id}$

Utvidgningsklassen Z med X modulo bildar denna ekvivalensrelation en mängd, som betecknas och kallas mängden förlängningsklasser Z med X . $\operatorname {Ext} ^{1}(Z,X)$

Baers summa

Givet två förlängningar

0\rightarrow B\rightarrow E\rightarrow A\rightarrow 0

0\rightarrow B\rightarrow E^{\prime }\rightarrow A\rightarrow 0

man kan konstruera deras Baer-summa genom att betrakta fiberprodukten över , $A$

\Gamma =\left\{(e,e')\in E\oplus E'\;|\;g(e)=g'(e')\right\}.

Vi överväger faktorn

{\displaystyle Y=\Gamma /\{(f(b),0)-(0,f'(b))\;|\;b\in B\))

det vill säga vi faktoriserar efter relationerna . Förlängning $(f(b)+e,e')\sim (e,f'(b)+e')$

0\rightarrow B\rightarrow Y\rightarrow A\rightarrow 0

där den första pilen mappar till och den andra pilen mappar till , kallas Baer summan av förlängningarna E och E' . $b$ $[(f(b),0)]=[(0,f'(b))]$ $(e,e')$ $g(e)=g'(e')$

Upp till ekvivalens av förlängningar är Baer-summan kommutativ och den triviala förlängningen är ett neutralt element. Förlängningen inverterad till 0 → B → E → A → 0 är samma förlängning där en av pilarna har sitt tecken ändrat, till exempel ändras morfismen g till -g .

Således bildar uppsättningen av förlängningar, upp till ekvivalens, en abelsk grupp.

Definition

Låt R vara en ring och betrakta kategorin av R -moduler R -Mod. Vi fixar ett objekt A i kategorin R -Mod och betecknar med T funktionatorn Hom

T(B)=\operatörsnamn {Hom} _{R}(A,B)

Denna funktion lämnas exakt . Den har rätt härledda funktioner. Ext -funktioner definieras enligt följande:

\operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B)=(R^{n}T)(B)

I synnerhet, . $\operatörsnamn {Ext} ^{0}=\operatörsnamn {Hom}$

Dubbelt kan man använda den kontravarianta Hom-funktionen och definiera . Funktionerna Ext definierade på detta sätt är isomorfa. De kan beräknas med användning av den injektiva upplösningen B respektive den projektiva upplösningen A. $G(A)=\operatörsnamn {Hom} _{R}(A,B)$ $\operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B)=(R^{n}G)(A)$

Egenskaper

Extjag
R( A , B ) = 0 för i > 0 om B är injektiv eller A är projektiv.
Det omvända är också sant: om Ext1R _
( A , B ) = 0 för alla A , sedan Extjag
R( A , B ) = 0 för alla A och B är injektiv; om Ext1R _
( A , B ) = 0 för alla B , sedan Extjag
R( A , B ) = 0 för alla B och A är projektiva.
$\operatorname {Ext} _{R}^{n}{\Bigl (}\bigoplus _{\alpha }A_{\alpha },B{\Bigr )}\cong \prod _{\alpha }\ operatornamn {Ext} _{R}^{n}(A_{\alpha },B)$
$\operatorname {Ext} _{R}^{n}{\Bigl (}A,\prod _{\beta }B_{\beta }{\Bigr )}\cong \prod _{\beta }\ operatornamn {Ext} _{R}^{n}(A,B_{\beta })$
$\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{n}(A,B)=0$ för n ≥ 2 för abelska grupper A och B.
$\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(\mathbb {Z} /p,B)=B/pB$ för en abelsk grupp B . Detta kan användas för att beräkna vilken ändligt genererad abelsk grupp A som helst . $\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(A,B)$
Låt A vara en ändligt genererad modul över en kommutativ Noetherian ring R . Sedan för valfri multiplikativt sluten delmängd S , valfri modul B och valfri n , . $S^{-1}\operatörsnamn {Ext} _{R}^{n}(A,B)\cong \operatörsnamn {Ext} _{S^{-1}R}^{n}(S ^{-1}A,S^{-1}B)$
Om R är kommutativ och Noetherian, och A är en ändligt genererad R -modul, är följande satser ekvivalenta för vilken modul B som helst och vilken n som helst :
- $\operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B)=0.$
- För varje primideal i ringen R , . $\mathfrak{p}$ $\operatorname {Ext} _{R_{\mathfrak {p}}}^{n}(A_{\mathfrak {p}},B_{\mathfrak {p}})=0$
- För varje maximal ideal för ringen R , . $\mathfrak{m}$ $\operatorname {Ext} _{R_{\mathfrak {m}}}^{n}(A_{\mathfrak {m}},B_{\mathfrak {m}})=0$

Litteratur

McLane S. Kategorier för den arbetande matematikern / Per. från engelska. ed. V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - 352 sid. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Weibel, Charles A. En introduktion till homologisk algebra. - Cambridge University Press , 1994. - (Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38). - ISBN 978-0-521-55987-4 .