Diskret normaliseringsring

En diskret värderingsring är en ring som kan erhållas som ett resultat av en diskret värdering av ett visst fält genom att välja en delmängd av element med en icke-negativ norm. En sådan ring kan definieras på många likvärdiga sätt.

En diskret värderingsring är en integrerad ring R som uppfyller ett av följande (motsvarande) villkor:

1) R är en lokal domän av principiella ideal som inte är ett fält. 2) R är en lokal Dedekind-ring som inte är ett fält. 3) R är en Noethersk lokal ring vars Krull-dimension är lika med en och vars unika maximala ideal är principiellt. 4) R är en integrerat sluten endimensionell Noeterisk lokal ring. 5) R är domänen av principiella ideal med ett enda icke-noll primideal . 6) R är en faktoriell ring med ett enda oupplösligt element (upp till associerad ). 7) Det finns en diskret värdering av fältet av fraktioner av ringen R så att R sammanfaller med uppsättningen av element med icke-negativ norm.

Exempel

Låt oss beteckna fältet av bråkdelar av denna ring - allt. Vi dekomponerar täljaren och nämnaren för en godtycklig rationell till enkla och representerar den i formen med udda , låt oss sätta sedan - den diskreta värderingsringen som motsvarar . Observera att det är lokaliseringen av Dedekind-ringen med avseende på det främsta idealet . Det visar sig att lokaliseringen av vilken Dedekind-ring som helst med avseende på ett icke-noll-primideal är en diskret värderingsring. $\mathbb {Z} _{(2)}=\{p/q\;|\;p,q\in \mathbb {Z} ,q\not \vdots \;2\}.$ ${\mathbb Q}.$ $r$ $2^{k}p/q$ $p,q$ $v(r)=k.$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)))$ $v$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)))$ $\mathbb {Z}$ $(2)$
Som ett mer geometriskt exempel, låt oss ta ringen av rationella funktioner , vars nämnare inte är lika med noll vid noll, det vill säga funktioner som är definierade i någon omgivning av noll. Sådana funktioner bildar en diskret värderingsring, det enda irreducerbara elementet är funktionen (upp till att ta associerade sådana), och motsvarande värdering av rationella funktioner är i storleksordningen noll (möjligen noll eller negativ) för denna funktion vid noll. Detta exempel är standard för att studera en algebraisk kurva vid en icke-singular punkt; i detta fall är den algebraiska kurvan den reella axeln. $x$
Ett annat viktigt exempel är ringen av formella kraftserier ; här är det irreducerbara elementet serien , och värderingen är graden av den första koefficienten som inte är noll. Om vi begränsar oss till verkliga eller komplexa koefficienter kan vi överväga serier som konvergerar i någon omgivning av noll - detta är fortfarande en diskret värderingsring. $x$
Ring av p-adiska nummer . $\mathbb {Z} _{p}$

Topologi

Varje diskret värderingsring är naturligtvis en topologisk ring , avståndet mellan elementen x och y ges enligt följande:

{\displaystyle |xy|=2^{-\nu (xy)))

(istället för 2 kan du ta valfritt reellt tal >1). Intuitivt är ett element litet (nära noll) om dess norm är stor.

En diskret värderingsring är kompakt om och endast om den är komplett och restfältet R/m ( m är ett maximalt ideal) är ändligt.

Litteratur

Atiyah M., McDonald I. Introduktion till kommutativ algebra. - M: Mir, 1972
Dummit, David S. & Fost2=Richard M. (2004), ISBN 978-0-471-43334-7