Grupprepresentationens karaktär

Grupprepresentationens natur är en funktion på gruppen som returnerar spåret (summan av de diagonala elementen) av matrisen som motsvarar det givna elementet i representationen [1] [2] .

Betecknas vanligtvis med bokstaven [3] .

Teorin om karaktärer handlar om studiet av representationer genom deras karaktärer .

Definition

Om är en ändlig dimensionell representation av gruppen , då är karaktären av denna representation en funktion från till uppsättningen av komplexa tal, som ges av spåret av en linjär transformation som motsvarar elementet . Generellt sett är ett spår inte en homomorfism, och uppsättningen av spår bildar inte en grupp.

Egenskaper

• Tecknen i ekvivalenta representationer sammanfaller [2] .
• Isomorfa representationer har samma karaktärer [4] .
• Tecken av irreducerbara icke-isomorfa representationer av en ändlig grupp bildar ett ortonormalt system av funktioner [2] [5] .
• Den skalära kvadraten för karaktären av en irreducerbar representation är lika med en [2] .
• Karaktären hos en reducerbar representation är lika med summan av tecknen för alla irreducerbara representationer som förekommer i den [2] [4] .
• Två representationer med samma tecken är ekvivalenta [2] [6] .
• Om representationen är reducerbar, är skalära kvadraten av dess karaktär större än en [7] .
• Ömsesidigt konjugerade element har grupper och tecken lika [7] .
• Uppsättningen av tecken för alla irreducerbara representationer är komplett i det linjära utrymmet av funktioner definierade på klasserna av konjugerade element [7] .
• För alla element i gruppen [8] .
• För att en representation ska vara irreducerbar är det nödvändigt och tillräckligt att den skalära kvadraten av dess karaktär är lika med [9] .

Anteckningar

1. ↑ Van der Waerden, 2004 , sid. 62.
2. ↑ 1 2 3 4 5 6 Lyubarsky, 1958 , sid. 56.
3. ↑ Golovina, 1975 , sid. 366.
4. ↑ 1 2 Golovina, 1975 , sid. 367.
5. ↑ Golovina, 1975 , sid. 369.
6. ↑ Van der Waerden, 2004 , sid. 64.
7. ↑ 1 2 3 Lyubarsky, 1958 , sid. 57.
8. ↑ Golovina, 1975 , sid. 368.
9. ↑ Golovina, 1975 , sid. 372.

Litteratur

• Lyubarsky G. Ya. Gruppteori och dess tillämpning i fysik. — M .: Nauka, 1958. — 354 sid.
• Van der Waerden BL Metod för gruppteori i kvantmekanik. — M. : Redaktionell URSS, 2004. — 200 sid.
• Golovina L. I. Linjär algebra och några av dess tillämpningar. — M .: Nauka, 1975. — 407 sid.