Faktor utrymme över delrum

Ett kvotutrymme för delrum i linjär algebra är ett kvotutrymme som definieras för ett vektorrum av dess delrum som ett mellanrum över en kvotmängd med avseende på ekvivalensrelationen . Beteckning - . $(X,\;\mathbb {F} ,\;+,\;\cdot )$ $(X_{0},\;\mathbb {F} ,\;+,\;\cdot )$ $X$ ${\displaystyle x\sim y\Leftrightarrow xy\in X_{0))$ $X/X_{0}$

Faktormappning

En mappning som associerar varje element från ekvivalensklassen som det ligger i kallas en kvotmappning. $\varphi \colon X\mapsto X/X_{0}$ $X$

Faktormappning gör det möjligt att definiera en vektorstruktur genom att specificera operationer enligt följande: $X/X_{0}$ $\langle +,\;\cdot \rangle$

$x_{1}+x_{2}=\varphi (\varphi ^{-1}(x_{1})+\varphi ^{-1}(x_{2}))\qquad \forall x_{ 1},\;x_{2}\i X/X_{0};$
$\lambda x=\varphi (\lambda \varphi ^{-1}(x))\qquad \forall x\in X/X_{0},\;\lambda \in \mathbb {F} .$

Faktormappningen på ett sådant utrymme är linjär.

Faktormappningsegenskaper:

$\varphi \in {\mathcal {L}}(X,\;X/X_{0});$
${\displaystyle \mathrm {im} \,{\varphi }=X/X_{0))$ , det vill säga en epimorfism ; $\varphi$
$\ker \varphi =X_{0}$ , vilket motsvarar . ${\displaystyle \varphi ^{-1}(0)=X_{0))$

Relaterade definitioner

Konceptet med ett kvotutrymme med ett underutrymme tillåter en att definiera:

sambild av en linjär mappning ; $T\in {\mathcal {L}}(X,\;Y)\colon \mathrm {coim} \,T=X/\ker T$
cokernel av den linjära mappningen förutsatt att . $T\in {\mathcal {L}}(X,\;Y)\colon \mathrm {coker} \,T=Y/\mathrm {im} \,T$ $\mathrm {im} \,T\in \mathrm {Lat} (Y)$
samdimension ; ${\displaystyle X_{0}\in \mathrm {Lat} (X)\colon \mathrm {codim} \,X_{0}=\dim X/X_{0))$
Faktor-seminorm i kvotutrymme genererad av seminormen . $p\colon \forall w\in X/X_{0}\quad p_{X/X_{0}}(w)=\inf p(\varphi ^{-1}(w))$

Relaterade satser

Förekomst av reduktion genom coimage:

\forall T\in {\mathcal {L}}(X,\;Y)\,\exists {!}\,T_{c}\in {\mathcal {L}}(\mathrm {coim} \,T,\;Y)\colon T=T_{c}\varphi ,\;\ker T_{c}=\{0\}.

Isomorfism satser :

\mathrm {coim} \,T\simeq \mathrm {im} \,T

X_{0},\,X_{1}\in \mathrm {Lat} (X):X=X_{0}\oplus X_{1}\Rightarrow X/X_{0}\simeq X_{1 };\,X/X_{1}\simeq X_{0}

Faktormapping kontinuitetssats :

\varphi \in {\mathcal {B}}(X,\;X/X_{0}).

$\varphi ^{-1}(\ker p_{X/X_{0)))=\mathrm {cl} \,X_{0}.$
$(X/X_{0},\;p_{X/X_{0)))$ — Hausdorff . $\Leftrightarrow X_{0}=\mathrm {cl} \,X_{0}$

Hausdorffs egendom av ett semi-normerat utrymme, som bekant, tillåter[ förtydliga ] definiera normen på den och metriken med normen.

Ett tecken på fullständighet - full - full. $X\colon X_{0},\;X/X_{0}$ $\Rightarrow X$
$X_{0}$ - hyperplan . $\Leftrightarrow \mathrm {codim} \,X_{0}=1$
Ojämlikheter för den underordnade faktor-seminormen:

\forall w\in X/X_{0},\;\forall x\in \varphi ^{-1}(w)\;p_{X/X_{0}}(w)\leqslant p( x);

\forall w\in X/X_{0},\;\forall \varepsilon >0\;\exists x\in \varphi ^{-1}(w)\colon p(x)\leqslant (1 +\varepsilon )p_{X/X_{0}}(w).

Snöflinga Lemma .

Litteratur

Kutateladze S. S. Fundamentals of functional analysis. - 3:e uppl. - Novosibirsk: Publishing House of the Institute of Mathematics, 200. - 336 sid. — ISBN 5-86134-074-9 . .