Hilberts fjortonde problem

Hilberts fjortonde problem  är det fjortonde av de problem som David Hilbert ställde i sitt berömda föredrag vid den andra internationella matematikkongressen i Paris 1900. Det ägnas åt frågan om ändlig generering av ringar som uppstår under vissa konstruktioner. Hilberts ursprungliga miljö motiverades av Maurers arbete, som påstod att algebra av invarianter av den linjära verkan av en algebraisk grupp på ett vektorrum genereras ändligt; Egentligen gällde Hilberts fråga ringen som erhölls genom skärningen av ett delfält inom fältet för rationella funktioner med en polynomring. [ett]

Men snart efter rapporten visade det sig att Maurers arbete innehöll ett fel, och Hilberts fråga började betraktas som en fråga om den ändliga genereringen av algebror av invarianter av linjära algebraiska grupper. Oväntat visade sig svaret på denna fråga vara negativt: 1958, vid en kongress i Edinburgh , presenterade M. Nagata ett motexempel till den [1] [2] . Han konstruerade [3] en undergrupp i GL(n) vars invarianta algebra inte genereras ändligt. Denna konstruktion förenklades sedan [1] av Steinberg i hans papper från 1997 [4] .

Formuleringar

Hilberts ursprungliga formulering

14. Bevis på ändligheten hos något komplett system av funktioner.

<...> Maurer lyckades nyligen utvidga ändlighetssatserna som bevisats av Jordan och mig i invariantteorin till det fall då invarianterna inte bestäms av en allmän projektiv grupp, som i vanlig invariantteori, utan av dess godtyckliga undergrupp. <...>

Låt ett antal m av hela rationella funktioner av variabler ges :

Varje hel rationell koppling mellan , om dessa värden introduceras i den, representerar uppenbarligen också en hel rationell funktion av . Det kan dock mycket väl finnas fraktionerade rationella funktioner av , som efter substitution (S) kommer att leda till hela funktioner av . Jag kommer att kalla varje sådan funktion för <...> en relativt hel funktion av . <...> Problemet uttrycks därför i följande: att fastställa om det alltid är möjligt att hitta ett sådant ändligt system med avseende på hela funktioner av , genom vilket varje annan relativt hel funktion uttrycks i en integral och rationell sätt. <...> [5]

Med andra ord, detta är frågan om den ändliga genereringen av algebra , var  är det genererade fältet. Eftersom varje mellanliggande fält ändligt genereras som en förlängning av k, i slutändan, i modernt språk, låter Hilberts ursprungliga formulering så här:

Låt vara  något fält som innehåller huvudfältet k. Är det sant att en algebra genereras ändligt? [ett]

Finit generering av algebra av invarianter

Litteratur

1. ↑ 1 2 3 4 Anteckningar från I. Arzhantsevs kurs " Algebras of invariants and the 14th Hilbert problem "
2. ↑ Dieudonné J. , Carroll J., Mumford D. Geometric invariant theory. - M., Mir, 1974. - sid. 74-81
3. ↑ M. Nagata, föreläsningar om Hilberts fjortonde problem. Tata Institute, 1965.
4. ↑ R. Steinberg, Nagatas exempel. I: Algebraic Groups Lie Groups, Austral. Matematik. soc. Lect. Serie 9 Cambr. University Press (1997), 375-384.
5. ↑ Översättning av Hilberts rapport från tyska - M. G. Shestopal och A. V. Dorofeev , publicerad i boken Hilberts problem / ed. P.S. Alexandrova . - M . : Nauka, 1969. - S. 45-47. — 240 s. — 10 700 exemplar. Arkiverad kopia (inte tillgänglig länk) . Hämtad 27 mars 2010. Arkiverad från originalet 17 oktober 2011. (obestämd) 

• I. V. Arzhantsev. Graderade algebror och Hilberts 14:e uppgift. - M. : MTSNMO, 2009. - 64 sid. - 1000 exemplar.  - ISBN 978-5-94057-491-0 .
• Hilberts problem / red. P.S. Alexandrova . — M .: Nauka, 1969. — 240 sid. — 10 700 exemplar. Arkiverad 17 oktober 2011 på Wayback Machine