Hilberts elfte problem

Hilberts elfte problem är ett av David Hilberts 23 problem som presenterades vid den andra internationella matematikkongressen i Paris 1900. Hilbert fortsatte med teorin om kvadratisk form och formulerade problemet på följande sätt:

Vår kunskap om teorin om kvadratiska talfält tillåter oss att framgångsrikt studera teorin om kvadratiska former med valfritt antal variabler och alla algebraiska numeriska koefficienter. Detta leder i synnerhet till ett intressant problem: att lösa en given andragradsekvation med algebraiska numeriska koefficienter med valfritt antal variabler, heltal eller bråktal relaterade till den algebraiska uppsättningen av rationella tal, definierade av koefficienterna.

Originaltext  (engelska)[ visaDölj] Vår nuvarande kunskap om teorin om kvadratiska talfält sätter oss i en position att framgångsrikt attackera teorin om kvadratiska former med valfritt antal variabler och med alla algebraiska numeriska koefficienter. Detta leder i synnerhet till det intressanta problemet: att lösa en given kvadratisk ekvation med algebraiska numeriska koefficienter i valfritt antal variabler med integral- eller bråktal som hör till det algebraiska rationalitetsområdet bestämt av koefficienterna.

Som den amerikanske och kanadensiske matematikern Irving Kaplansky sa: "Det elfte problemet är helt enkelt detta: klassificera kvadratiska former från algebraiska talfält." Detta är precis vad den tyske matematikern Hermann Minkowski gjorde för en kvadratisk form med bråkkoefficienter. En andragradsform (inte en andragradsekvation) är vilket polynom som helst där varje term har variabler som förekommer exakt två gånger. Den allmänna formen av en sådan ekvation är: (alla koefficienter måste vara heltal ).

Det anses att en given kvadratisk form är ett naturligt tal , om istället för variabler som ersätter specifika tal, ges detta nummer. Den tyske matematikern och fysikern Karl Gauss och hans anhängare upptäckte att om man ändrar variablerna på ett visst sätt, så kommer den nya kvadratiska formen att vara samma naturliga tal som de tidigare, men i en annan, mer begriplig form. Han använde denna teori om ekvivalenta kvadratiska former för att bevisa resultaten av teorin om heltal. Den franske astronomen och matematikern Joseph Lagrange visade till exempel att vilket naturligt tal som helst kan uttryckas som summan av fyra kvadrater. Gauss bevisade detta med sin teori om ekvivalensrelationer , som visar att den kvadratiska formeln mappar till alla naturliga tal. Som tidigare nämnts skapade och bevisade Minkowski en liknande teori för kvadratiska former som använde bråk som koefficienter. Gilberts elfte problem erbjuder en liknande teori. Detta är med andra ord en klassificeringsmetod där vi kan avgöra om en form är ekvivalent med en annan, men om koefficienterna är algebraiska tal . Den tyske matematikern Helmut Hasse bevisade detta med sin principoch det faktum att teorin är relativt enkel för p-adiska system i oktober 1920. Han publicerade sitt arbete 1923 och 1924. Den lokal-globala principen säger att ett generellt resultat om ett rationellt tal, eller till och med alla rationella tal, ofta kan erhållas genom att verifiera att resultatet är sant för vart och ett av de p-adiska talsystemen.

Se även

 Hilbert problem