Hilberts sjunde problem

Hilberts sjunde problem  är ett av de 23 problem som David Hilbert föreslog den 8 augusti 1900 vid II International Congress of Mathematicians . Problemet är relaterat till bevis och studier av transcendens och irrationalitet hos vissa siffror.

Förklaring av problemet

Nedan är ett utdrag ur Hilberts rapport [1] ägnad åt det sjunde problemet.

Hermites aritmetiska exponentialfunktionssatser och deras utveckling av Lindemann kommer utan tvekan att förbli häpnadsväckande för matematiker i alla generationer. Men nu uppstår problemet – att gå längre på den asfalterade vägen, som Hurwitz redan gjorde i sina två intressanta studier "Om de aritmetiska egenskaperna hos vissa transcendentala funktioner" [2] . Därför vill jag peka på den klass av problem som enligt min mening bör betraktas som de närmaste i denna riktning. När vi får veta att vissa speciella transcendentala funktioner , som spelar en viktig roll i analysen , tar algebraiska värden för vissa algebraiska värden i argumentet, så förefaller denna omständighet oss särskilt överraskande och värd att studera vidare. Vi förväntar oss alltid att transcendentala funktioner generellt sett tar transcendentala värden för argumentens algebraiska värden, och även om vi är väl medvetna om att det till och med finns sådana hela transcendentala funktioner som tar rationella värden för alla algebraiska värden av argumentet anser vi det fortfarande mycket troligt att en sådan funktion som till exempel exponentiell , som uppenbarligen, för alla rationella värden i argumentet tar algebraiska värden, å andra sidan alltid kommer att ta transcendentala värden för alla algebraiska irrationella värden . Detta uttalande kan också ges en geometrisk form enligt följande. Om förhållandet mellan vinkeln vid basen och vinkeln vid spetsen i en likbent triangel är ett algebraiskt men inte rationellt tal, då är förhållandet mellan basen och sidan ett transcendentalt tal . Trots enkelheten i detta påstående, liksom dess likhet med de problem som Hermite och Lindemann löste, förefaller dess bevis för mig extremt svårt, liksom beviset att graden av en algebraisk bas och en algebraisk irrationell exponent  - som t.ex. nummer eller  - det finns alltid antingen ett transcendentalt tal, eller åtminstone ett irrationellt. Man kan vara säker på att lösningen av detta och liknande problem bör leda oss till nya synpunkter på essensen av speciella irrationella och transcendentala tal [3] .

Lösning

Hilbert själv ansåg att det sjunde problemet var mycket svårt. Karl Siegel citerar Hilbert [4] , där han tillskriver tiden att lösa det sjunde problemet mycket längre än att bevisa Riemann-hypotesen och Fermats teorem .

Ändå erhölls en partiell lösning relaterad till transcendensen av förhållandet mellan basen och sidosidan av en likbent triangel av A. O. Gelfond redan 1929 [5] , och transcendensen av numret bevisades av R. O. Kuzmin 1930 [ 6 ] . År 1934 fick Gelfond den slutliga lösningen på problemet [7] : han bevisade att ett tal av formen där  är ett algebraiskt tal annat än och a  är ett irrationellt algebraiskt tal alltid är transcendentalt [8] (talet senare fick till och med namnet på Gelfonds konstant ). Lite senare erhölls även lösningen av Theodor Schneider [9] .

Anteckningar

1. ↑ Hilbert, David .   Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900  (tyska)  (otillgänglig länk) . — Text till rapporten läst av Hilbert den 8 augusti 1900 vid II International Congress of Mathematicians i Paris. Hämtad 27 augusti 2009. Arkiverad från originalet 8 april 2012.
2. ↑ Hurwitz, Adolf .  Über arithmetische Eigenschaften gewisser transcendenten Functionen  (tyska)  // Mathematische Annalen . - Berlin: Springer, 1883. - Bd. 22 , nr. 2 . - S. 211-229 .  (inte tillgänglig länk)
3. ↑ Översättning av Hilberts rapport från tyska - M. G. Shestopal och A. V. Dorofeev , publicerad i boken Hilberts problem / Ed. P.S. Alexandrova . - M . : Nauka, 1969. - S. 36-37. — 240 s. — 10 700 exemplar. Arkiverad 17 oktober 2011 på Wayback Machine
4. ↑  Siegel C.L. Transcendentala tal . - Princeton: Princeton University Press, 1949. - Vol. 16. - 102 sid. - (Annaler om matematikstudier). — ISBN 0-691-09575-2 . Arkiverad 12 november 2012 på Wayback Machine  - S. 84.
5. ↑ Gelfond A.  Sur les nombres transcendants  (franska)  // Comptes Rendus de l'Académie des sciences. - Paris, 1929. - Vol. 189 . - P. 1224-1228 .
6. ↑ Kuzmin R. O.  Om en ny klass av transcendentala tal  // Bulletin of the Academy of Sciences of the USSR. VII-serien. Institutionen för fysikaliska och matematiska vetenskaper. - 1930. - Nr 6 . - S. 585-597 .
7. ↑ Gelfond A. O.  Om Hilberts sjunde problem // Reports of the Academy of Sciences of the USSR. - 1934. - T. 2 . - S. 1-6 .
8. ↑ Rybnikov K. A.  . Matematikens historia. 2:a uppl. - M . : Moscows förlag. un-ta, 1974. - 455 sid.  - S. 304.
9. ↑ Schneider T.  Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen  (tyska)  // Journal für die reine und angewandte Mathematik. - 1934. - Bd. 172 . - S. 65-69 .

Litteratur

• Gelfond A. O.  . Om det sjunde problemet av Hilbert // Problems of Hilbert / ed. P.S. Alexandrova . — M .: Nauka, 1969. — 240 sid. — 10 700 exemplar. Arkiverad17 oktober 2011 påWayback Machine - s. 121-127.
• Feldman N. I. . Hilberts sjunde problem. - M. : Moscow State Universitys förlag, 1982. - 312 s.
• Bolibrukh A. A.  . Hilberts sjunde problem: Irrationella siffror // Hilbertproblem (100 år senare) . - M. : MTSNMO , 1999. - 24 sid. - ( Biblioteket "Mathematical Education" , nummer 2). - 3000 exemplar.
• Tikhomirov V. M. , Uspensky V. V.  30-talets sovjetiska matematik (II): A. O. Gelfond och L. G. Shnirelman, del "Alexander Osipovich Gelfond och Hilberts sjunde problem"  // Matematisk utbildning , serie nr 3. - 2000. - Issue. 4 . - S. 33-48 .