Hilberts sjuttonde problem

Hilberts sjuttonde problem är ett av de 23 Hilbertproblem som David Hilbert angav 1900 vid II International Congress of Mathematicians i Paris och som hade ett exceptionellt inflytande på matematikens utveckling under 1900-talet. Hilberts formulering av problemet är som följer:

Låt en rationell funktion av variabler med reella koefficienter ges, som tar icke-negativa värden vid alla reella punkter där den är definierad. Är det möjligt att representera det som en summa av kvadrater av rationella funktioner, vars alla koefficienter är reella? $n$

Emil Artin gav en positiv lösning på denna fråga 1927 men hans lösning var inte konstruktiv. En algoritmisk lösning hittades av Charles Delzell 1984 .

Variationer och generaliseringar

Det finns polynom som är icke-negativa för alla reella värden av argumenten, men som inte kan representeras som summan av kvadraterna av andra polynom. Förekomsten av sådana exempel bevisades av Hilbert. [1] explicita exempel på sådana polynom gavs Motzkin 1967
- Till exempel polynom $f(x,y)=x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2}-3)+1,$ $g(x,y,z)=z^{6}+x^{4}y^{2}+x^{2}y^{4}-3x^{2}y^{2} z^{2}$
kan inte representeras som summan av kvadrater av polynom med reella koefficienter. Men de kan representeras som summan av kvadrater av rationella funktioner, till exempel, $f(x,y)=\left({\tfrac {x^{2}y(x^{2}+y^{2}-2)}{x^{2}+y^{2 ))}\right)^{2}+\left({\tfrac {xy^{2}(x^{2}+y^{2}-2)}{x^{2}+y^{2 ))}\höger)^{2}+\vänster({\tfrac {xy(x^{2}+y^{2}-2)}{x^{2}+y^{2}}}\ höger)^{2}+\left({\tfrac {x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}\höger)^{2}.$
Explicita nödvändiga och tillräckliga villkor är kända för att ett polynom ska vara summan av kvadraterna av andra polynom. [2]
Det har varit känt sedan 1950 -talet att förmågan att representera ett polynom som summan av kvadrater av polynom är relaterat till att lösa det flerdimensionella maktmomentproblemet.
Det är känt att varje icke-negativt polynom kan approximeras (i -normen för vektorn för dess koefficienter) så noggrant som önskas av polynom som är summan av kvadraterna av polynom. [3] $l_{1}$

Anteckningar

↑ Hilbert, D. Über die Darstellung definiter Formen als Summe von Formenquadraten. matematik. Annalen Bd 32, S. 342-350 (1888); se även Hilbert, D. Gesammelte Abhandlungen. Zweiter Band. Algebra, Invariantteori, Geometri. (Tyska) Chelsea Publishing Co., New York 1965 viii+453 sid.
↑ V. Powers, T. Wormann. En algoritm för summor av kvadrater av verkliga polynom (engelska) // Journal of pure and applyed algebra : journal. - 1998. - Vol. 127 , nr. 1 . - S. 99-104 . - doi : 10.1016/S0022-4049(97)83827-3 . Arkiverad från originalet den 16 juni 2010.
↑ Jean B. Lasserre. En summa av kvadrater Approximation av icke-negativa polynom // SIAM Rev. : journal. - 2007. - Vol. 49 , nr. 4 . - s. 651-669 . - doi : 10.1137/070693709 . Arkiverad från originalet den 18 april 2007.

Litteratur

Hilberts problem / Samling, red. P.S. Alexandrova . — M .: Nauka, 1969. — 240 sid.
V. V. Prasolov . Polynom . — M .: MTsNMO , 2003. — 336 sid. — ISBN 5-94057-077-1 .
CN Delzell. En kontinuerlig, konstruktiv lösning på Hilberts 17:e problem // Invent . Matematik. : journal. - 1984. - Vol. 76 , nr. 3 . - s. 365-384 . - doi : 10.1007/BF01388465 .

Hilbert problem
ett 2 3 fyra 5 6 7 åtta 9 tio elva 12 13 fjorton femton 16 17 arton 19 tjugo 21 22 23 ( 24 )