Hilberts femte problem

Hilberts femte problem  är ett av de problem som David Hilbert ställde upp i sin rapport [1] [2] vid II International Congress of Mathematicians i Paris 1900. Hilberts femte problem relaterar till teorin om topologiska transformationsgrupper och Lie-grupper . Lösningar för viktiga specialfall erhölls 1933 och 1934, slutligen lösta 1952.

Förklaring av problemet

En topologisk transformationsgrupp består av en topologisk grupp , ett topologiskt utrymme och en kontinuerlig verkan av gruppen på , vilket är en kontinuerlig kartläggning

har följande två egenskaper:

  1. för alla , var  kommer identitetselementet ifrån ,
  2. för alla och för alla .

En topologisk grupp är en Lie-grupp om  är en verklig analytisk gren och multiplikation  är en verklig analytisk karta. Sedan, genom den implicita funktionssatsen, är mappningen realanalytisk. Om  är en Lie-grupp,  är en verklig analytisk mångfald, och gruppens verkan på  är verklig analytisk, då har vi en grupp av verkliga analytiska transformationer.

Låt vara  en lokalt euklidisk topologisk grupp. Då uppstår frågan om det alltid är möjligt att förse med en realanalytisk struktur så att multiplikationen

kommer att vara realanalytisk? Denna fråga, som sedan besvarades jakande, anses idag vara Hilberts femte problem. [3]

Problemlösning

För kompakta grupper löstes det femte problemet av von Neumann [4] 1933. För lokalt kompakta kommutativa grupper och några andra speciella fall löstes problemet av Pontryagin [3] [5] [6] 1934. Dessa bevis erhölls med hjälp av ett resultat av den ungerske matematikern Alfred Haar [7] , som konstruerade ett invariant mått på en lokalt kompakt topologisk grupp [8] .

Den centrala punkten i det allmänna beviset visade sig vara frågan om existensen av "små" undergrupper i ett godtyckligt litet område av enheten (förutom själva enheten). Lögngrupper har inga sådana undergrupper. Ett betydande bidrag till lösningen gjordes av Gleason (Gleason) [9] , som bevisade att varje ändlig dimensionell lokalt kompakt topologisk grupp , som inte har några små undergrupper, är en Lie-grupp.

Den slutliga lösningen erhölls 1952 av Montgomery och Zippin , som bevisade att en lokalt ansluten finitdimensionell lokalt kompakt topologisk grupp inte har några små undergrupper. [10] . Eftersom varje lokalt euklidisk topologisk grupp är lokalt ansluten, lokalt kompakt och finitdimensionell, innebär dessa två resultat följande påstående.

Sats . Varje lokalt euklidisk grupp är en Lie-grupp .

Som Glushkov senare visade , medger denna sats generaliseringar [11] .

Detta resultat anses ofta vara en lösning på Hilberts femte problem, men Hilberts fråga var bredare och gällde omvandlingsgrupper för det fall då mångfalden inte sammanfaller med [3] [12] .

Svaret på Hilberts allmänna fråga i fallet med topologiska kontinuerliga handlingar visade sig vara negativt även för den triviala gruppen . Det finns topologiska grenrör som inte har någon jämn struktur, och därför inte har en realanalytisk struktur [13] .

Anteckningar

  1. ↑ David Hilbert . Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900  (tyska)  (otillgänglig länk) . — Text till rapporten läst av Hilbert den 8 augusti 1900 vid II International Congress of Mathematicians i Paris. Hämtad 27 augusti 2009. Arkiverad från originalet 8 april 2012.
  2. ↑ Översättning av Hilberts rapport från tyska - M. G. Shestopal och A. V. Dorofeev , publicerad i boken Hilberts problem / ed. P.S. Alexandrova . - M . : Nauka, 1969. - S. 36-37. — 240 s. — 10 700 exemplar. Arkiverad kopia (inte tillgänglig länk) . Hämtad 26 oktober 2014. Arkiverad från originalet 17 oktober 2011. 
  3. ↑ 1 2 3 Hilberts femte problem: En recension .
  4. ↑ Neumann J. von Die Einfuhrung analytischer Parameter in topologischen Gruppen// Ann. Matematik. - 1933. - 34. - C. 170-190
  5. ↑ Hilbertproblem och sovjetisk matematik (otillgänglig länk) . Hämtad 26 oktober 2014. Arkiverad från originalet 26 oktober 2014. 
  6. ↑ Pontryagin LS Topologiska grupper. Princeton: Univ. Press, 1939
  7. ↑ Der Maasbegriff in der Theorie der Kontinuerlichen Gruppen (Mértékfogalom a folytonos csoportok elméletében), 1933.
  8. ↑ Pontryagin L. S. Biografi om L. S. Pontryagin, en matematiker sammanställd av honom själv. Född 1908, Moskva . - M. : Prima V, 1998. - 340 sid.
  9. ↑ Gleason AM-grupper utan små undergrupper // Ann. Matematik. - 1952. - 56. - S. 193-212.
  10. ↑ Montgomery D., Zippin L. Små undergrupper av finita dimensionella grupper // Ann. Matematik. - 1952. - 56. - S. 213-241.
  11. ↑ V. M. Glushkov. Strukturen av lokalt kompakta grupper och Hilberts femte problem , Uspekhi Mat Nauk, 1957, volym 12, nummer 2(74), 3-41.
  12. ↑ Montgomery D. Topologiska transformationsgrupper // Proc. Int. kongr. Matematik. - 1954. - Vol. III. — Groningen-Amsterdam. - 1956. - S. 185-188 (RZhMat, 1958, 8602).
  13. ↑ Kervaire MA Ett grenrör som inte tillåter någon differentierbar struktur // Kommentar. Matematik. Helv. - 1960. - 34. - S. 257-270.

Litteratur

 Hilbert problem