Ordlista för algebraisk geometri

# A B C D E F F G I K L M N O P R S T U V W Y Z _ _ _ _ _ _

En

abelisk sort Komplett algebraisk grupp. Till exempel ett komplext grenrör eller en elliptisk kurva över ett ändligt fält .

{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}/\mathbb {Z} ^{2n))

E

\mathbb {F} _{q}

algebraisk grupp En algebraisk grupp är en algebraisk sort som också är en grupp , och gruppoperationerna är morfismer av varieteterna. algebraiskt schema Ett separerbart slutligt typschema över ett fält. Till exempel är en algebraisk variant ett reducerat irreducerbart algebraiskt schema. algebraisk vektorbunt Lokalt fri kärve av ändlig rang. algebraisk variation Ett heltal separerbart schema av ändlig typ över ett fält. algebraisk uppsättning Det reducerade separerbara schemat av en ändlig typ över ett fält. En algebraisk variant är ett reducerat irreducerbart algebraiskt schema. aritmetiskt kön Det aritmetiska släktet för en projektiv varietet X med dimensionen r är .

(-1)^{r}(\chi ({\mathcal {O}}_{X})-1)

artiniskt schema 0-dimensionellt Noetherian-schema. affin 1. Ett affint rum är, grovt sett, ett vektorrum där vi har glömt vilken punkt som är ursprunget. 2. En affin sort är en sort i ett affint utrymme. 3. Ett affint schema är ett schema som är isomorft till spektrumet av någon kommutativ ring. 4. En morfism kallas affin om förbilden av någon öppen affin delmängd är affin. Viktiga klasser av affina morfismer är vektorbuntar och finita morfismer .

B

birational morfism En birational morfism av scheman är en morfism av scheman som inducerar en isomorfism av deras täta öppna delmängder. Ett exempel på en birational morfism är kartläggningen som induceras genom att spränga .

G

geometriskt släkte Det geometriska släktet för en jämn projektiv variant X med dimensionen n är

\dim \Gamma (X,\Omega _{X}^{n})=\dim \operatörsnamn {H} ^{n}(X,{\mathcal {O}}_{X})

(där jämlikhet är Serres dualitetssats . slät 1. Släta morfismer är en multidimensionell analog till étale morfismer. Det finns flera olika definitioner av jämnhet. Följande definitioner av jämnheten hos en morfism f : Y → X är ekvivalenta: 1) för vilken punkt y ∈ Y som helst finns det öppna affina grannskap V och U av punkterna y , x = f ( y ), respektive, så att begränsningen av f till V sönderfaller till en sammansättning av en etale morfism och en projektion från ett n -dimensionellt projektivt utrymme över U . 2) f är platt, lokalt ändligt presenterad, och för vilken geometrisk punkt som helst i Y (en morfism från ett algebraiskt slutet fält i Y ), är den geometriska fibern ett jämnt grenrör i betydelsen klassisk algebraisk geometri.

{\bar {y}}

k({\bar {y)))

X_{\bar {y}}:=X\times _{Y}\mathrm {Spec} (k({\bar {y}})))

k({\bar {y)))

2. Ett jämnt schema över ett perfekt fält k är ett vanligt schema av lokalt ändlig typ. 3. Ett schema X över ett fält k är jämnt om det är geometriskt jämnt: schemat är jämnt.

X\times _{k}{\overline {k))

Picard-gruppen Picardgruppen X är gruppen av isomorfismklasser av linjebuntar på X vars gruppoperation är tensorprodukten .

D

dominerande En morfism f : X → Y sägs vara dominant om bilden av f ( X ) är tät . En morfism av affina scheman Spec A → Spec B är dominant om och endast om kärnan av motsvarande mappning B → A finns i nilradikalen B . dualiserande stråle En sammanhängande kärve på X så att Serre-dualiteten

\omega _{X}

H^{ni}(X,F^{\vee}\otimes \omega )\simeq H^{i}(X,F)^{*}

håller för varje sammanhängande kärv F på X ; till exempel, om X är en jämn projektiv variant, så är det en kanonisk kärve .

W

stängd Slutna underkretsar av krets X är konstruerade med hjälp av följande konstruktion. Låt J vara en kvasi-koherent bunt av ideal. Bäraren för kvotkärven är en sluten delmängd Z av X och är ett schema, kallat ett slutet delschema, definierat av en kvasi-koherent idealisk sträng J [1] . Anledningen till att definitionen av en sluten delkrets beror på en sådan konstruktion är att till skillnad från öppna delmängder har delmängder med slutna kretsar inte en unik kretsstruktur.

{\mathcal {O}}_{X}/J

(Z,({\mathcal {O}}_{X}/J)|_{Z})

K

kanonisk modell Den kanoniska modellen är Proj för den kanoniska ringen (antas vara ändligt genererad). kanonisk 1. Den kanoniska bunten på ett normalt grenrör X med dimension n är bunten av differentiella former av grad n på delmängden av jämna punkter .

{\displaystyle \omega _{X}=i^{*}\Omega _{U}^{n))

i:U\to X

2. Den kanoniska klassen på en normal sort X är en divisorklass sådan att .

K_{X}

{\mathcal {O}}_{X}(K_{X})=\omega _{X}

3. En kanonisk divisor är en representant för den kanoniska klassen betecknad med samma symbol (ej unikt definierad).

K_{X}

4. Den kanoniska ringen på ett normalt grenrör X är ringen av sektioner av den kanoniska bunten. tangentutrymme Se Zariski tangentrymd . kvasikompakt morfism En morfism f : Y → X sägs vara kvasikompakt om för någon (och sedan för vilken som helst) öppen affin täckning av X av mängder U i = Spec B i , de inversa bilderna av f −1 ( U i ) är kompakta . kvasifinit morfism En morfism av ändlig typ som har ändliga fibrer. nästan separerbar En morfism f : Y → X sägs vara kvasi-separerbar om den diagonala morfismen Y → Y × X Y är kvasikompakt. Ett schema Y är kvasseparerbart om en morfism från det till Spec( Z ) är kvasseparerat [2] . säkert tänkbart Om y är en punkt av Y , så är en morfism f ändligt presentabel i y om det finns en öppen affin grannskap U av punkten f(y) och en öppen affin grannskap V av punkten y så att f ( V ) ⊆ U och är en ändligt presenterad algebra över (faktor ändligt genererad algebra av ett ändligt genererat ideal). En morfism f är lokalt ändligt presenterbar om den är ändligt presenterbar vid alla punkter i Y . Om X är lokalt Noetherian, så är f lokalt ändligt representerad om och endast om den är av lokalt finit typ [3] . En morfism f : Y → X är ändligt presenterbar om den är lokalt ändligt presenterbar, kvasikompakt och kvasisparerbar. Om X är lokalt Noetherian, så är f finit representabel om och endast om den är av finit typ.

{\mathcal {O}}_{Y}(V)

{\mathcal {O}}_{X}(U)

ändlig morfism En morfism f : Y → X är finit om den kan täckas av öppna affina mängder så att var och en är affin — har formen — och genereras ändligt som en -modul.

X

{\text{Spec }}B

f^{-1}({\text{Spec }}B)

{\text{Spec }}A

A

B

sektionsring Sektionsringen på en linjebunt L på X är en graderad ring .

\oplus _{0}^{\infty }\Gamma (X,L^{n})

L

lokalt Noetherian system Schema täckt med spektra av Noetherian ringar . Om det finns ett ändligt antal spektra kallas schemat Noetherian. lokalt faktorsystem Ett schema vars lokala ringar är faktoriella .

M

Fano sort En mjuk projektiv variant vars antikanoniska kärve är riklig.

{\displaystyle \omega _{X}^{-1))

Hilbert polynom Hilbertpolynomet för ett projektivt schema X över ett fält är Eulerkarakteristiken .

f(s)=\chi ({\mathcal {O}}_{X}(s))

morfism av en (lokalt) ändlig typ En morfism f : Y → X är av lokalt finit typ om den kan täckas av öppna affina delmängder så att varje förbild kan täckas av öppna affina delmängder där var och en ändligt genereras som en -algebra. En morfism f : Y → X är av finit typ om den kan täckas av öppna affina delmängder , så att varje förbild kan täckas av ett ändligt antal öppna affina delmängder , där var och en ändligt genereras som en -algebra.

X

{\text{Spec }}B

f^{-1}({\text{Spec }}B)

{\text{Spec }}A

A

B

X

{\text{Spec }}B

f^{-1}({\text{Spec }}B)

{\text{Spec }}A

A

B

H

oreducerbar krets Ett schema kallas irreducible om det (som ett topologiskt utrymme) inte är föreningen av två ordentliga slutna delmängder. oförgrenad morfism För en punkt , överväg motsvarande morfism av lokala ringar

y\in Y

f^{\#}\colon {\mathcal {O}}_{X,f(y)}\to {\mathcal {O}}_{Y,y}

. Låt vara den maximala ideal , och låt

{\mathfrak {m))

{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,f(y)))

{\mathfrak {n}}=f^{\#}({\mathfrak {m}}){\mathcal {O}}_{Y,y}

är det ideal som genereras av bilden i . En morfism kallas oframifierad om den är av lokalt ändlig typ och för alla är ringens maximala ideal och den inducerade kartläggningen

{\mathfrak {m))

{\mathcal {O}}_{Y,y}

f

y\in Y

{\mathfrak {n))

{\mathcal {O}}_{Y,y}

{\mathcal {O}}_{X,f(y)}/{\mathfrak {m}}\to {\mathcal {O}}_{Y,y}/{\mathfrak {n}}

är en finit separerbar fältförlängning. normal krets Ett helt schema kallas normalt om dess lokala ringar är integrerat stängda .

Åh

riklig En riklig linjebunt är en linjebunt vars viss tensorkraft är mycket riklig. bild Om f : Y → X är en morfism av scheman, så är den schemateoretiska bilden av f ett unikt definierat slutet underschema i : Z → X som uppfyller följande universella egenskap:

f passerar genom i ,
om j : Z ′ → X är vilken sluten underkrets som helst till X så att f passerar genom j , så går i också genom j . [fyra]

separerbar En separerbar morfism är en morfism så att diagonalen för den fiberförsedda produkten med sig själv är stängd. Som en konsekvens är en krets separerbar när den diagonala inbäddningen i kretsprodukten med sig själv är en sluten inbäddning. Observera att ett topologiskt utrymme Y är Hausdorff om och endast om den diagonala inbäddningen

f

f

X

X

X

Y{\stackrel {\Delta }{\longrightarrow }}Y\ gånger Y

stängd. Skillnaden mellan de topologiska och algebro-geometriska fallen är att det topologiska utrymmet i ett schema skiljer sig från produkten av topologiska utrymmen. Varje affint schema Spec A är separerbart eftersom diagonalen motsvarar den surjektiva kartläggningen av ringarna

X\times _{{\textrm {Spec}}(\mathbb {Z} )}X

A\otimes _{\mathbb {Z} }A\högerpil A,a\otimes a'\mapsto a\cdot a'

. öppen underkrets En öppen delkrets till en krets X är en öppen delmängd av U med en strukturskiva .

{\mathcal {O}}_{X}|_{U}

mycket rikligt En linjebunt L på ett grenrör X är mycket rikligt om X kan bäddas in i ett projektivt utrymme, så att L är begränsningen av den vridande Serre-kärven O (1).

P

platt morfism Morfisminducerande plankarteringar av fibrer . En ringhomomorfism A → B kallas platt om den gör B till en platt A -modul. plurirod Den n :e pluigenen av en jämn projektiv variant är .

\dim \Gamma (X,\omega _{X}^{\otimes n})

reducerat diagram Ett system vars lokala ringar inte har nilpotenter som inte är noll. projektiv 1. En projektiv varietet är en sluten undervarietet av ett projektivt utrymme . 2. Ett projektivt schema över ett schema S är ett S - schema som passerar genom något projektivt utrymme som ett slutet delschema.

\mathbf {P} _{S}^{N}\to S

3. Projektiva morfismer definieras på ett liknande sätt som affina morfismer: f : Y → X kallas projektiv om det sönderdelas till en sammansättning av en sluten inbäddning och en projektion av ett projektivt utrymme på .

\mathbb {P} _{X}^{n}:=\mathbb {P} ^{n}\times _{\mathrm {Spec} \mathbb {Z} }X

X

R

inflation En blow-up är en birational transformation som ersätter en sluten underkrets med en effektiv Cartier divisor. Närmare bestämt, för ett Noetherskt schema X och ett slutet underschema , är uppblåsningen av Z i X en riktig morfism så att (1) är en effektiv Cartier-delare, kallad exceptionell divisor, och (2) är ett universellt objekt med fastighet (1).

Z\subset X

\pi :{\widetilde {X}}\to X

\pi ^{-1}(Z)\hookrightarrow {\widetilde {X))

\pi

dimension av Kodaira Mått på den kanoniska modellen. vanligt mönster Ett system vars lokala ringar är vanliga lokala ringar . släkte Se #arithmetic genus , #geometric genus .

C

ansluten Ett schema är kopplat om det är kopplat som ett topologiskt rum. Ett affint schema Spec(R) är kopplat om och endast om ringen R inte har några andra idempotenter än 0 och 1. lager För en schemamorfism är lagret f över y som en uppsättning den omvända bilden ; den har den naturliga schemastrukturen över restfältet av punkten y som en fiberprodukt , där den har den naturliga schemastrukturen över Y som spektrumet av restfältet för punkten y .

f:X\till Y

{\displaystyle f^{-1}(y)=\{x\in X|f(x)=y\))

{\displaystyle X\ gånger _{Y}\{y\))

\{y\}

egen morfism Separerbar universellt sluten morfism av finit typ. En schemamorfism f : X → Y sägs vara universellt sluten om, för något schema Z med en morfism Z → Y , projektionen från fiberprodukten är en sluten kartläggning av topologiska utrymmen (överför slutna mängder till slutna mängder).

X\times _{Y}Z\to Z

schema Ett schema är ett lokalt ringat utrymme , lokalt isomorft till spektrumet av en kommutativ ring .

T

punkt Ett schema är ett lokalt ringat utrymme, och därmed ett topologiskt utrymme, men ordet punkt har tre betydelser:

S

S

punkt för det underliggande topologiska rummet; $P$
$T$ -punkt är en morfism från till , för vilket schema som helst ; $S$ $T$ $S$ $T$
en geometrisk punkt i ett schema definierat över (med en morfism till) , där är

ett fält , är en morfism från till , där är en algebraisk stängning av .

S

{\textrm {Spec}}(K)

K

{\textrm {Spec))({\overline {K)))

S

{\overline {K}}

K

C

hela upplägget Det reducerade irreducerbara systemet. För ett lokalt Noetherian-schema är att vara integral likvärdig med att vara ansluten och täckt av spektra av integritetsdomäner

E

etal En morfism f : Y → X är étale om den är platt och oförgrenad. Det finns flera andra motsvarande definitioner. I fallet med släta grenrör och över ett algebraiskt stängt fält är étalemorfismer morfismer som inducerar en isomorfism av tangentutrymmen , vilket är samma som den vanliga definitionen av étale-avbildningar i differentialgeometri.

X

Y

df:T_{y}Y\rightarrow T_{f(y)}X

effektiv Cartier divisor En effektiv Cartier divisor på ett schema X över S är ett slutet delschema av X som är platt över S och vars idealiska sträng är inverterbar .

Anteckningar

↑ Grothendieck & Dieudonné, 1960 , 4.1.2 och 4.1.3.
↑ Grothendieck & Dieudonné, 1964 , 1.2.1.
↑ Grothendieck & Dieudonné, 1960 , §1.4.
↑ The Stacks Project Arkiverad 16 mars 2012 på Wayback Machine , Kapitel 21, §4.

Litteratur

Hartshorne R. Algebraisk geometri / transl. från engelska. V. A. Iskovskikh. — M .: Mir, 1981.
Fulton, William (1998), Intersection theory , vol. 2, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folie. En serie moderna undersökningar i matematik [Resultat i matematik och relaterade områden. 3:e serien. A Series of Modern Surveys in Mathematics], Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4
Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas" . Publications Mathématiques de l'IHES . 4 . doi : 10.1007/ bf02684778 . MR 0217083 .
Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1964). "Elements de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première party” . Publications Mathématiques de l'IHES . 20 . doi : 10.1007/ bf02684747 . MR 0173675 .