Sammanhängande stråle

Koherenta remskivor är en klass av remskivor som är nära besläktade med de geometriska egenskaperna hos bärarutrymmet. Definitionen av en koherent kärve använder en bunt av ringar , som lagrar denna geometriska information.

Koherenta skivor kan ses som en generalisering av vektorbuntar . Till skillnad från vektorbuntar bildar de en Abelisk kategori och är därför stängda under operationer som att ta kärnor , kokkärnor och bilder. Kvasi -koherenta skivor är en generalisering av koherenta skivor som inkluderar vektorbuntar av oändlig rang.

Kohomologin hos koherenta skivor är en kraftfull teknik som används särskilt för att studera tvärsnitt av koherenta skivor.

Definitioner

En kvasikoherent kärve på ett ringmärkt utrymme ( X , O X ) är en bunt av O X -moduler F , som är lokalt representativa, det vill säga varje punkt X har en öppen grannskap U , för vilken det finns en exakt sekvens

{\mathcal {O}}_{X}^{\oplus I}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus J}|_{U}\ till {\mathcal {F}}|_{U}\to 0

för vissa uppsättningar I och J (eventuellt oändliga).

En koherent kärve på ett ringmärkt utrymme ( X , O X ) är en kvasi-koherent kärve F som uppfyller följande två villkor:

bunt F av finit typ över O X , det vill säga vilken punkt X som helst har en öppen grannskap U så att det finns en surjektiv morfism OnX
_| U → F | U för något naturligt n ;
för alla öppna mängder U ⊂ X , alla naturliga n och alla morfism O X -moduler φ: OnX
_| U → F | U , kärna φ av finit typ.

Morfismer mellan (kvasi)koherenta skivor är samma som morfismer av O X -moduler.

Egenskaper

På ett godtyckligt ringmärkt utrymme bildar kvasikoherenta kärvar inte en abeliaansk kategori. Emellertid bildar kvasi-koherenta skivor över alla scheman en Abelsk kategori, och de är extremt användbara i detta sammanhang. [ett]

Koherenta skivor på ett godtyckligt ringat utrymme bildar en Abelisk kategori, en komplett underkategori av kategorin O X -moduler.

En undermodul av en koherent bunt är koherent om den är av finit typ. En koherent sträng är alltid en ändligt presenterad O X -modul, i den meningen att vilken punkt X som helst har en öppen grannskap U så att begränsningen F | U av kärven F på U är isomorf till kokkärnan i morfismen O X n | U → O X m | U för naturligt n och m . Om O X är koherent, så är omvänt varje ändligt presenterad O X -modul koherent.

En ringskiva O X kallas koherent om den är koherent som en modul över sig själv. I synnerhet Okas koherenssats anger att en bunt av holomorfa funktioner på ett komplext analytiskt utrymme X är koherent. På liknande sätt, på ett lokalt Noetherian schema X , är strukturskivan O X koherent. [2]

Lokalt beteende hos koherenta strålar

En viktig egenskap hos koherenta strålar är att egenskaperna hos en koherent stråle vid en punkt styr dess beteende i närheten av den punkten. Till exempel anger Nakayamas lemma (i geometriska termer) att om F är en koherent bunt på ett schema X , då dess fiber, tensormultiplicerad med restfältet F p ⊗ O X , p k ( p ) vid p (vektorn utrymmet över restfältet k ( p )) är noll om och endast om F är noll i någon öppen grannskap av p . Ett relaterat faktum är att dimensionen av skikten i en koherent stråle är övre halvkontinuerlig . [3] Således har en koherent kärve en konstant rang på en öppen delmängd, medan den på en sluten delmängd kan hoppa.

På samma sätt: en koherent bunt F i ett schema X är ett vektorknippe om och endast om dess fiber Fp är en fri modul över en lokal ring O X , p för vilken punkt p som helst i X . [fyra]

På det allmänna schemat är det omöjligt att avgöra om en koherent bunt är ett vektorknippe från dess fibrer tensormultiplicerade med restfält. I det givna lokalt noeterska schemat är emellertid en koherent bunt en vektorbunt om och endast om dess rang är lokalt konstant. [5]

Cohomology of coherent sheaves

Kohomologiteorin om koherenta skivor är ett av de viktigaste tekniska verktygen inom algebraisk geometri. Även om det dök upp först på 1950-talet, är många tidigare resultat inom algebraisk geometri formulerade tydligare på kärvkohomologins språk som tillämpas på koherenta kärvar. Grovt sett kan kohomologi av koherenta skivor betraktas som ett verktyg för att konstruera funktioner med givna egenskaper; sektioner av linjebuntar eller mer generella skivor kan betraktas som generaliserade funktioner. I komplex analytisk geometri spelar kohomologin av koherenta remsor också en viktig roll.

Försvinnande teorem i det affina fallet

Komplex analys revolutionerades av Cartans satser A och B , bevisade 1953. Dessa resultat säger att om E är en koherent analytisk bunt på ett Stein-utrymme X , så genereras E av dess globala sektioner, och H i ( X , E ) = 0 för alla i > 0. (Det komplexa utrymmet X är ett Stein-rum, om och bara om det är isomorft till ett slutet analytiskt delrum C n för något n .) Dessa resultat generaliserar en stor samling av tidigare arbeten om konstruktion av komplexa analytiska funktioner med givna singulariteter eller andra egenskaper.

1955 introducerade Serre koherenta skivor i algebraisk geometri (ursprungligen över ett algebraiskt stängt fält , men denna begränsning togs bort av Grothendieck ). Analoger till Cartans satser är sanna i stort sett: om E är en kvasikoherent bunt på ett affint schema X , så genereras E av dess globala sektioner, och H i ( X , E ) = 0 för i > 0. [6 ] Detta beror på det faktum att kategorin av kvasikoherenta skivor på ett affint schema X är ekvivalent med kategorin O ( X ) -moduler : ekvivalensen tar skivan E till O ( X ) -modulen H 0 ( X , E ).

Cech kohomologi och projektiv rymdkohomologi

Som en konsekvens av att kohomologin för affina scheman försvinner, för ett separerbart schema X , ett affint öppet lock { U i } av ett schema X , och en kvasikoherent sträng E på X , kohomologigrupperna H *( X , E ) är isomorfa för Cech-kohomologigrupperna med avseende på det öppna locket { U i }. [6] Med andra ord, för att beräkna kohomologin för X med koefficienter i E , räcker det att känna till sektionerna av E vid alla finita skärningspunkter för öppna affina delmängder U i .

Med hjälp av Cech-kohomologin kan man beräkna kohomologin för ett projektivt utrymme med koefficienter i vilken linjebunt som helst. För ett fält k , ett naturligt tal n och ett heltal j , ges kohomologierna för det projektiva rummet P n över k med koefficienter i linjebunten O ( j ) enligt följande: [7]

H^{i}(\mathbf {P} ^{n},O(j))\cong {\begin{cases}\bigoplus _{a_{0}\geq 0,\ldots ,a_{n }\geq 0,\;a_{0}+\cdots +a_{n}=j}\;k\cdot x_{0}^{a_{0}}\cdots x_{n}^{a_{n} }&{\text{if }}i=0\\0&{\text{if }}i\neq 0{\text{ och }}i\neq n\\\bigoplus _{a_{0}<0, \ldots ,a_{n}<0,\;a_{0}+\cdots +a_{n}=j}\;k\cdot x_{0}^{a_{0}}\cdots x_{n}^ {a_{n}}&{\text{if }}i=n.\end{cases}}

Speciellt visar denna beräkning att kohomologin för ett projektivt utrymme över k med koefficienter i valfritt linjeknippe är ändligt dimensionellt som vektorrum över k .

Försvinnandet av dessa kohomologigrupper i dimensioner ovanför n är ett särskilt fall av Grothendiecks försvinnande teorem : för varje bunt av Abeliska grupper E på ett noeterskt topologiskt utrymme X med dimension n < ∞, har vi H i ( X , E ) = 0 för alla i > n . [8] Detta resultat är särskilt användbart när X är ett Noetherian-schema (till exempel en algebraisk variant över ett fält) och E är en koherent kärve.

Finit-dimensional cohomology

För ett korrekt schema X över ett fält k och en koherent bunt E på X är kohomologigrupperna Hi ( X , E ) ändliga dimensionella som vektorrum över k . [9] I det speciella fallet när X är projektiv över k , bevisas detta genom reduktion till fallet med linjebuntar på ett projektivt utrymme som betraktas ovan. Det allmänna fallet med ett korrekt schema över ett fält bevisas genom att reducera till det projektiva fallet med hjälp av Zhou-lemmat .

Kohomologins ändliga dimensionalitet gäller också för koherenta analytiska skivor på ett kompakt komplext utrymme. Cartan och Serre visade ändlig dimensionalitet i denna analytiska situation med Schwarz ' teorem om kompakta operatorer i Fréchet-rymden .

Kohomologins ändliga dimensionalitet tillåter oss att erhålla många intressanta invarianter av projektiva varianter. Till exempel, om X är en icke-singular projektiv kurva över ett algebraiskt vikt fält k , så definieras släktet av X som dimensionen av vektorrummet H 1 ( X , O X ). Om k är fältet för komplexa tal, sammanfaller det med släktet för utrymmet för komplexa punkter X ( C ) i den klassiska (euklidiska) topologin. (I detta fall är X ( C ) = Xan en sluten orienterad yta .)

Serra dualitet

Serre-dualiteten är en analog till Poincaré-dualiteten för kohomologin av koherenta kärvar. För ett jämnt egenschema X med dimension n över ett fält k , finns det en naturlig spårkarta Hn ( X , K X ) → k . Serre dualitet för en vektorbunt E på X anger att parningen

H^{i}(X,E)\times H^{ni}(X,K_{X}\otimes E^{*})\till H^{n}(X,K_{X}) \till k

är en perfekt parning för alla heltal i . [10] Speciellt vektorrummen H i ( X , E ) och H n − i ( X , K X ⊗ E *) har samma dimension. (Serre bevisade också Serre-dualitet för holomorfa vektorbuntar på ett kompakt komplext grenrör.) Grothendiecks dualitetsteori inkluderar generaliseringar till en godtycklig koherent bunt och en godtycklig egenmorfism av scheman, men påståendena blir mindre elementära.

Till exempel, för en icke-singular projektiv kurva X över ett algebraiskt stängt fält k , anger Serre dualitet att dimensionen av rymden av 1-former på X H 0 ( X ,Ω 1 ) = H 0 ( X , K X ) sammanfaller med släktet X (av dimensionen H 1 ( X , O )).

GAGA-satser

GAGA-satserna relaterar komplexa algebraiska varianter till motsvarande analytiska utrymmen. För ett schema X av finit typ över C finns det en funktion från koherenta algebraiska skivor på X till koherenta analytiska skivor på motsvarande analytiska utrymme X an . GAGA fundamentalsatsen säger att om X är korrekt över C så är denna funktion en kategoriekvivalens. Dessutom, för varje koherent algebraisk bunt E på ett korrekt schema X över C , den naturliga kartläggningen

H^{i}(X,E)\till H^{i}(X^{\text{an)),E)

är en isomorfism för alla i . [11] (Den första gruppen definieras med Zariski-topologin, och den andra gruppen definieras med den klassiska (euklidiska) topologin.) I synnerhet innebär ekvivalensen mellan analytiska och algebraiska koherenta skivor på ett projektivt utrymme Chou-satsen att alla slutet analytiskt delrum av CP n är algebraiskt.

Försvinnande teorem

Serre Vanishing Theorem säger att för varje riklig linjebunt L på ett korrekt schema X över en Noetherian ring och varje koherent bunt F på X , det finns ett heltal m 0 så att för alla m ≥ m 0 , kärven F ⊗ L ⊗ m genereras av globala sektioner och har ingen högre kohomologi. [12]

Även om Serres försvinnande teorem är användbar, kan det vara ett problem att inte veta talet m 0 . Kodairas försvinnande teorem är ett viktigt explicit resultat. Nämligen, om X är en jämn projektiv variant över ett fält med karakteristik 0, L är en riklig linjebunt på X , och K X är den kanoniska bunten , då

H^{j}(X,K_{X}\otimes L)=0

för alla j > 0. Observera att Serres teorem garanterar samma försvinnande för höga potenser av L . Kodairas försvinnande teorem och dess generaliseringar spelar en grundläggande roll i klassificeringen av algebraiska varianter och i programmet för minimala modeller . Kodairas försvinnande teorem gäller inte fält med positiva egenskaper. [13]

Anteckningar

↑ Stacks Project, Tag 01LA Arkiverad 3 september 2017 på Wayback Machine .
↑ Grothendieck, EGA I, Corollaire 1.5.2.
↑ Hartshorne (1981), Exempel III.12.7.2.
↑ Grothendieck, EGA I, Ch. 0, 5.2.7.
↑ Eisenbud (1995), Övning 20.13.
↑ 1 2 Stacks Project, Tag 01X8 , < http://stacks.math.columbia.edu/tag/01X8 > Arkiverad 3 september 2017 på Wayback Machine .
↑ Hartshorne (1981), sats III.5.1.
↑ Hartshorne (1977), sats III.2.7.
↑ Stacks Project, Tag 02O3 , < http://stacks.math.columbia.edu/tag/02O3 > Arkiverad 23 december 2017 på Wayback Machine .
↑ Hartshorne (1981), sats III.7.6.
↑ Grothendieck & Raynaud, SGA 1, Exposé XII.
↑ Hartshorne (1981), Teorem II.5.17 och Proposition III.5.3.
↑ Michel Raynaud . Contre-exempel på försvinnande teorem en caractéristique p > 0 . I CP Ramanujam - en hyllning , Tata Inst. fond. Res. Studier i matte. 8, Berlin, New York: Springer-Verlag, (1978), sid. 273-278.

Litteratur

R. Hartshorne. Algebraisk geometri / transl. från engelska. V. A. Iskovskikh. — M .: Mir, 1981.
David Eisenbud. Kommutativ algebra med utsikt mot algebraisk geometri. - Springer-Verlag, 1995. - ISBN 978-0-387-94268-1 .
Grothendieck, Alexandre; Dieudonne, Jean . "Elements de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publications Mathématiques de l'IHES. 4 , 1960.