Noetherian rymden

Ett Noetherian space (uppkallat efter Emmy Noether ) är ett topologiskt rymd X som uppfyller villkoret för avslutning av nedåtgående kedjor av slutna delmängder [1] [2] . Det vill säga för varje sekvens av slutna delmängder av utrymmet X så att: $Y_i$

Y_1 \supseteq Y_2 \supseteq Y_3 \supseteq \cdots

det finns ett heltal r så att $Y_s = Y_r ~ \forall s>r.$

Detta villkor motsvarar att varje delmängd är kompakt . $X$

Motsvarande definitioner

Ett topologiskt utrymme kallas Noetherian om något av följande ekvivalenta påståenden gäller: $X$

$X$ uppfyller termineringsvillkoret för nedåtgående kedjor av slutna delmängder [1] [2] ;
$X$ uppfyller villkoret att bryta ökande kedjor av öppna delmängder [3] ;
varje icke-tom familj av slutna delmängder i , ordnad efter inkludering, har ett minimumelement [1] [3] ; $X$
varje icke-tom familj av öppna delmängder i , ordnad efter inkludering, har ett maximalt element [3] ; $X$
varje delmängd är kompakt ( med subrymdstopologin ) ; $X$
varje öppen delmängd är kompakt [1] . $X$

Egenskaper

Ett Hausdorff-rum är Noetheriskt om och endast om det är ändligt (och samtidigt kommer det att vara diskret ) [3] .
Varje delrum i ett Noetherrum är återigen ett Noetherrum [1] [3] .
Om ett rum kan täckas av ett ändligt antal noeteriska delrum, så är det i sig noeteriskt [1] . $X$ $X$
Ett Noetherian rum kan representeras som en union av ett ändligt antal av dess irreducible komponenter [1] [2] . $X$

Exempel

Noetheriska utrymmen förekommer ofta i algebraisk geometri .

Ett utrymme ( ett affint n-dimensionellt utrymme över ett fält k ) med Zariski-topologin är ett topologiskt Noether-rum [2] . Enligt definitionen av Zariski-topologin i om: $\mathbb {A} ^ n_k$ $\mathbb {A} ^ n_k$

Y_1 \supseteq Y_2 \supseteq Y_3 \supseteq \cdots

är en minskande sekvens av slutna uppsättningar, då:

I (Y_1) \subseteq I (Y_2) \subseteq I (Y_3) \subseteq \cdots

är en ökande sekvens av ideal ( betecknar idealet för polynomfunktioner som försvinner vid varje punkt ). Eftersom det är en Noether-ring finns det ett heltal så att: $k[x_1, \ldots, x_n]$ $jag (Y_i)$ $(Y_i)$ $k[x_1, \ldots, x_n]$ $m$

I (Y_m) = I (Y_ {m + 1}) = I (Y_ {m + 2}) \cdots.

Med tanke på en-till-en-överensstämmelsen mellan radikala ideal och slutna (i Zariski-topologin) uppsättningar , gäller det för alla i . Det är därför: $k[x_1, \ldots, x_n]$ $\mathbb {A} ^ n_k$ $V(I(Y_i)) = Y_i$ $Y_m = Y_{m +1} = Y_{m + 2} = \cdots$

Exempel på Noetherian spaces är spektra av kommutativa ringar. Om är en Noether ring , då rymden (spektrum ) är Noetherian [1] . $R$ $\operatörsnamn{Spec}(R)$ $R$

Se även

noeterskhet

Anteckningar

↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Kuzmin, 1982 .
↑ 1 2 3 4 Hartshorne, 1981 , sid. 21.
↑ 1 2 3 4 5 Hartshorne, 1981 , sid. 25.

Litteratur

Kuzmin L. V. . Möbius-serien // Matematisk uppslagsverk. Vol 3 / Kap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Sov. uppslagsverk , 1982. - 1184 stb. - Stb. 1028.
Hartshorne R. . Algebraisk geometri. — M .: Mir , 1981. — 597 sid.

Länkar

Drozd, Yuri. Introduktion till algebraisk geometri (inte tillgänglig länk)