Minimal modellprogram

Minimalmodellprogrammet är en del av birationalklassificeringen av algebraiska varianter . Dess mål är att bygga den enklaste möjliga birationalmodellen av vilken komplex projektiv sort som helst . Ämnet är baserat på den klassiska birationalgeometrin hos ytor som studerats av den italienska skolan och som för närvarande studeras.

Grundläggande principer

Teorins huvudidé är att förenkla birational klassificeringen av sorter genom att i varje birational ekvivalensklass hitta en sort som är "så enkel som möjligt". Den exakta innebörden av denna fras utvecklas tillsammans med utvecklingen av själva teorin. Ursprungligen, för ytor, innebar detta att hitta en slät variant , för vilken all birational morfism med en slät yta är en isomorfism . $X$ $f:X\rightarrow X'$ $X'$

I den moderna formuleringen är målet med teorin följande. Anta att vi får ett projektivt grenrör , som för enkelhets skull antas vara icke-singular. Det finns två alternativ: $X$

Om har Kodaira dimension , vi vill hitta en variation birational till , och en morfism till en projektiv varietet sådan att , med den antikanoniska klassen av en generisk fiber som är riklig . En sådan morfism kallas ett Fano-fibrationsutrymme . $X$ $\kappa (X,K_{X})=-\infty$ $X^\prime$ $X$ $f:X'\rightarrow Y$ $Y$ ${\displaystyle \mathrm {dim} Y<\mathrm {dim} X^{\prime ))$ $-K_{F}$ $F$
Om inte mindre än 0, vill vi hitta , birational med kanonisk nef-klass . I det här fallet är minimimodellen för . $\kappa (X,K_{X})$ $X'$ $X$ $K_{X^{\prime ))$ $X'$ $X$

Frågan om grenrörens icke-singularitet och som ges ovan är viktig. Det verkar naturligt att hoppas att om vi börjar med slät , kommer vi alltid att hitta en minimal modell eller Fano-fibreringsutrymme i kategorin släta grenrör. Detta är dock inte sant, så det blir nödvändigt att överväga singulära grenrör. De framväxande singulariteterna kallas terminalsingulariteter . $X'$ $X$ $X$

Minimala ytmodeller

Varje irreducerbar komplex algebraisk kurva är birational till den enda jämna projektiva kurvan, så teorin för kurvor är trivial. Ytfallet undersöktes först av italienarna i slutet av artonhundratalet och början av nittonhundratalet. Castelnuovos kontraktionssats beskriver i huvudsak processen att konstruera en minimal modell av vilken slät yta som helst. Teoremet säger att varje icke-trivial birational morfism måste dra ihop en −1-kurva till en jämn punkt, och vice versa, vilken som helst sådan kurva kan smidigt dras ihop. Här är −1-kurvan en jämn rationell kurva C med självskärning C . C = −1. Varje sådan kurva måste ha K . C = −1, vilket visar att om den kanoniska klassen är nef, så har ytan inga −1-kurvor. $f:X\rightarrow Y$

Det följer av Castelnuovos sats att för att konstruera en minimal modell för en slät yta, drar vi helt enkelt ihop alla −1-kurvor på ytan, och det resulterande grenröret Y är antingen den (unika) minimala modellen med nef klass K eller en reglerad yta ( som är densamma, som det 2-dimensionella utrymmet för Fano-fibrationen, och är antingen ett projektivt plan eller en rät yta över en kurva). I det andra fallet är den styrda ytans birational till X inte unik, även om det finns en unik yta som är isomorf till produkten av en projektiv linje och en kurva.

Minimala modeller i högdimensionella utrymmen

I dimensioner större än 2 är en mer kraftfull teori inblandad. I synnerhet finns det släta varianter som inte är birational till någon jämn variant med en kanonisk nef-klass. Det stora konceptuella framstegen under 1970-talet och början av 1980-talet, konstruktionen av minimala modeller, är fortfarande möjligt med noggrann beskrivning av möjliga modellsingulariteter. (Vi vill till exempel förstå om a är en nef-klass, så antalet korsningar måste bestämmas. Därför måste åtminstone våra grenrör ha en Cartier-divisor för något positivt tal .) $X$ $X'$ $K_{X'}$ $K_{X'}{\cdot }C$ $nK_{X'}$ $n$

Det första nyckelresultatet är Moris konsats som beskriver strukturen hos kurvornas kon . Kortfattat visar satsen att med utgångspunkt från , kan man genom induktion konstruera en sekvens av sorter , som var och en är "närmare" än den föregående till nef-klassen . Processen kan dock stöta på svårigheter - vid något tillfälle kan grenröret bli "för singular". En hypotetisk lösning på detta problem är omstrukturering , en typ av operation av kodimension 2 av . Det är inte klart om den erforderliga omarrangeringen existerar, eller att processen alltid kommer att avbryta (det vill säga att vi når den minimala modellen i ett ändligt antal steg.) Maury [1] visade att omarrangemang existerar i det 3-dimensionella fallet. $X$ $X$ $X_{i}$ $K_{X_{i))$ $X_{i}$ $X_{i}$ $X'$

Förekomsten av mer allmänna stockomläggningar fastställdes av Shokurov [2] för dimensionerna tre och fyra. Därefter generaliserades detta till högre dimensioner av Birkar , Caschini, Hakon och McKernan , som bygger på tidigare arbeten av Shokurov, Hakon och McKernan . De ställde också till några andra problem, inklusive generaliseringen av kanoniska ringar och förekomsten av minimala modeller för allmänna stockgrenrör.

Problemet med att bryta stockarrangemang i högre dimensionella utrymmen förblir ett föremål för aktiv forskning.

Litteratur

Shokurov V.V. Tredimensionell stockperestrojka // Izv. RAN. - 1992. - T. 56 , nr. 1 . — S. 105–203 .
Caucher Birkar, Paolo Cascini, Christopher Hacon, James McKenan. Förekomsten av minimala modeller för sorter av stock generell typ // Journal of the American Mathematical Society . - 2010. - T. 23 , nr. 2 . — S. 405–468 . - doi : 10.1090/S0894-0347-09-00649-3 .
Herbert Clemens, János Kollár, Shigefumi Mori. Högdimensionell komplex geometri // Asterisk. - 1988. - Utgåva. 166 . - S. 144 . — ISSN 0303-1179 .
Osamu Fujino. Nya utvecklingar inom teorin om minimala modeller // Sugaku. - Mathematical Society of Japan, 2009. - V. 61 , nr. 2 . — S. 162–186 . — ISSN 0039-470X .
Janos Kollar. Strukturen för algebraisk trefald: en introduktion till Moris program // American Mathematical Society. Bulletin. ny serie. - 1987. - T. 17 , nr. 2 . — S. 211–273 . — ISSN 0002-9904 . - doi : 10.1090/S0273-0979-1987-15548-0 .
Janos Kollar. Minimala modeller av algebraiska trefald: Moris program // Asterisque. - 1989. - Utgåva. 177 . — S. 303–326 . — ISSN 0303-1179 .
Janos Kollar. Rationella kurvor på algebraiska sorter. - Berlin: Springer-Verlag, 1996. - V. 32. - (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys] i matematik]). — ISBN 978-3-642-08219-1 . - doi : 10.1007/978-3-662-03276-3 .
János Kollár, Shigefumi Mori. Birational geometri av algebraiska varianter. - Cambridge University Press , 1998. - V. 134. - (Cambridge Tracts in Mathematics). - ISBN 978-0-521-63277-5 .
Kenji Matsuki. Introduktion till Mori-programmet. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 2002. - (Universitex). - ISBN 978-0-387-98465-0 .
Shigefumi Mori. Flip-teorem och förekomsten av minimala modeller för 3-veck. — Journal of the American Mathematical Society . - American Mathematical Society, 1988. - V. 1. - S. 117-253. - doi : 10.2307/1990969 .
Yujiro Kawamata. Mori teori om extrema strålar // Encyclopedia of Mathematics / Michiel Hazewinkel. - Springer Science + Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, 1994. - ISBN 978-1-55608-010-4 .