Semi-kontinuerlig funktion

Semi -kontinuitet i kalkyl är en svagare egenskap hos en funktion än kontinuitet. En funktion är lägre halvkontinuerlig vid en punkt om värdet av funktionen vid närliggande punkter inte är mycket mindre än värdet på funktionen vid den. En funktion är övre halvkontinuerlig vid en punkt om funktionens värden vid nära punkter inte avsevärt överstiger värdena för funktionen vid den.

Definitioner

Låt ett fullständigt metriskt utrymme ges. En funktion med reellt värde kallas lägre (överst) halvkontinuerlig vid en punkt om $(X,\varrho ).$ $f:X \to \mathbb{R}$ $x_{0}\i X$

\varliminf _{{x\to x_{0}}}f(x)\geq f(x_{0})\;\left(\varlimsup _{{x\to x_{0}}}f(x) \leq f(x_{0})\right).

En funktion sägs vara lägre (övre) semikontinuerlig på om den är lägre (övre) semikontinuerlig för alla . $f$ $M\delmängd X$ $x_{0}\in M$

Egenskaper

En funktion är lägre halvkontinuerlig om och endast om mängden är öppen i standardtopologin för den reella linjen för någon $f:X\to \mathbb{R}$ $\{x\in X\midt f(x)>a\}$ $a\in \mathbb{R} .$
Låta vara två lägre (övre) halvkontinuerliga funktioner. Då är deras summa också lägre (övre) halvkontinuerlig. $f,g:X\to \mathbb{R}$ $f+g$
Gränsen för en monotont ökande (minskande) sekvens av lägre (övre) halvkontinuerliga funktioner vid en punkt är en nedre (övre) semikontinuerlig funktion i . Mer exakt, låt det ges en sekvens av nedre (övre) halvkontinuerliga funktioner så att om gränsen finns så är den lägre (övre) halvkontinuerliga. $x_{0}$ $x_{0}$ $f_{n}:X\till {\mathbb {R)],\;n\i {\mathbb {N))$ $f_{{n+1}}(x)\geq (\leq )f_{n}(x)\;\forall n\in {\mathbb {N}}\;\forall x\in X.$ $\lim \limits _{{n\to \infty }}f_{n}(x)=f(x)\;\forall x\i X,$ $f$
Om och det finns halvkontinuerliga funktioner, respektive underifrån och uppifrån, och hela utrymmet är uppfyllt, så finns det en kontinuerlig funktion , så att $u:X\till {\mathbb {R}}$ $v:X\to {\mathbb {R}}$
$-\infty <v(x)\leq u(x)<\infty ,\;x\in X,$
$f:X \to \mathbb{R}$
$v(x)\leq f(x)\leq u(x),\;x\in X.$
( Weierstrass sats ) Låt en kompakt delmängd ges Då når den nedre (övre) halvkontinuerliga funktionen sitt minimum (maximum) på . $K\delmängd X.$ $f:K\to \mathbb{R}$ $K$

Exempel

Heltalsdelen är en övre halvkontinuerlig funktion; $x\mapsto[x]$
Bråkdelen är lägre halvkontinuerlig. $x\mapsto\{x\}$
Indikatorn för en godtycklig öppen uppsättning i topologin som genereras av metriken är en lägre halvkontinuerlig funktion. ${\mathbf {1}}_{U}$ $\varrho$ $U\delmängd X$
Indikatorn för en godtycklig sluten uppsättning är en övre halvkontinuerlig funktion. ${\mathbf {1}}_{V}$ $V\delmängd X$

Litteratur

Natanson I.P., Theory of functions of a real variabel , 3:e upplagan, M., 1974;
Sachs S, Integral Theory , övers. från engelska, M., 1949.