Gruppåtgärder

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 15 april 2022; kontroller kräver 4 redigeringar .

En grupps verkan på en viss uppsättning objekt gör det möjligt att studera symmetrierna hos dessa objekt med hjälp av gruppteorin .

Definitioner

Åtgärd kvar

En grupp sägs agera från vänster på en uppsättning om en homomorfism från gruppen till den symmetriska gruppen av uppsättningen ges . För korthetens skull skrivs det ofta som , eller . Elementen i gruppen kallas i det här fallet transformationer , och själva gruppen kallas för mängden transformationsgrupp . $G$ $M$ $\Phi \colon G\till S(M)$ $G$ $S(M)$ $M$ $(\Phi (g))(m)$ $gm$ $g\cdot m$ $g{.}m$ $G$ $G$ $M$

Med andra ord, gruppen agerar från vänster på uppsättningen om en mappning ges , betecknad med , så att $G$ $M$ $G\ gånger M\ till M$ $(g,m)=gm$

$(gh)m=g(hm)$ för alla och $g,\;h\i G$ $m\in M$
$em=m$ , där är det neutrala elementet i gruppen . Vi kan säga att gruppens enhet motsvarar varje element för sig; en sådan omvandling kallas identisk . $e$ $G$ $M$

Åtgärd höger

På liknande sätt ges den rätta åtgärden för en grupp av homomorfismen , där är gruppens omvända grupp . I det här fallet används ofta förkortningen: . I det här fallet skrivs homomorfismens axiom enligt följande: $G$ $M$ $\rho :G^{op}\to S(M)$ $G^{{op}}$ $G$ $\rho (g)(m)=:mg$

$m(gh)=(mg)h,$
$jag=m.$

Kommentarer

Varje högeråtgärd av en grupp är en vänsteråtgärd . Dessutom, eftersom varje grupp är isomorf till sin inversa grupp (till exempel är kartläggning en isomorfism ), så är det från varje högeråtgärd möjligt att erhålla en vänsteråtgärd med hjälp av en sådan isomorfism. Därför studeras som regel endast vänsterhandlingar. $G$ $G^{{op}}$ $g\mapsto g^{-1}$
Om en uppsättning är försedd med någon ytterligare struktur, antas det vanligtvis att kartläggningen bevarar denna struktur. $M$ $m\mapsto gm$
- Till exempel, om är ett topologiskt utrymme , då antas det vara kontinuerligt (därav en homeomorfism). En sådan gruppåtgärd kallas mer exakt en kontinuerlig åtgärd . $M$ $m\mapsto gm$

Åtgärdstyper

Gratis , om för någon annan och någon är nöjd . $g,\;h\i G$ $m\in M$ $gm\neq hm$
Transitiv om för någon det finns sådan att . Med andra ord, en handling är transitiv om för något element . $m,\;n\i M$ $g\in G$ $gm=n$ $Gm=M$ $m\in M$
- En primitiv handling är transitiv och bevarar inte icke-triviala delmängder . $M$
Effektiv om det finns två element i det så att . $g\neq h$ $G$ $m\in M$ $gm\neq hm$
Helt diskontinuerlig om för en kompakt uppsättning mängden av alla för vilka skärningspunkten inte är tom är ändlig. $K$ $g\in G$ $K\cap gK$

På topologiska utrymmen och släta grenrör övervägs också åtgärderna hos grupper som är utrustade med motsvarande ytterligare strukturer: topologiska grupper och Lie-grupper . En verkan av en topologisk grupp på ett topologiskt utrymme sägs vara kontinuerlig om den är kontinuerlig som en kartläggning mellan topologiska utrymmen. En jämn verkan av en Lie-grupp på ett jämnt grenrör definieras på liknande sätt . $\rho :G\to \mathrm {X}$

En kontinuerlig handling av en grupp på ett utrymme är stel (eller kvasi -analytisk ) om det faktum att något element i gruppen fungerar som en identisk mappning på någon öppen delmängd av utrymmet antyder att detta är gruppens identitetselement.
- Varje effektiv kontinuerlig verkan av isometrier på ett anslutet Riemann-grenrör är nödvändigtvis stel, vilket inte kan sägas om allmänna metriska utrymmen. Till exempel är verkan av en cyklisk grupp av ordning 2 genom att permutera två kanter på en graf som bildas av tre kanter som kommer från samma punkt effektiv men inte stel.
En kontinuerlig åtgärd av en grupp sägs vara kokompakt om kvotutrymmet av denna åtgärd är kompakt.

Banor

Delmängd

Gm=\{gm\mid g\in G\}\subset M

kallas elementets bana (ibland betecknad som ). $m\in M$ $\mathrm {Orb} (m)$

En grupps verkan på en uppsättning definierar en ekvivalensrelation på den $G$ $M$

\forall n,\;m\in M\;(n\,\sim _{_{G}}\,m)\Longleftrightarrow (\exists g\in G\;:\;gn=m)\Longleftrightarrow ( Gn=Gm).

I detta fall är ekvivalensklasserna elementens banor. Därför, om det totala antalet ekvivalensklasser är , då $k$

M=Gm_{1}\sqcup Gm_{2}\sqcup \ldots \sqcup Gm_{k},

där är parvis olikvärdiga. För en transitiv handling . $m_{1},\;m_{2},\;\ldots ,\;m_{k}\in M$ $k=1$

Stabilisatorer

Delmängd

G_{m}=\{g\in G\mid gm=m\}\subset G

är en undergrupp av gruppen och kallas stabilisatorn , eller den stationära undergruppen av elementet (ibland betecknad som ). $G$ $m\in M$ $\mathrm {Stab} (m)$

Stabilisatorerna för elementen i en omloppsbana är konjugerade, det vill säga om , så finns det ett element så att $n\,\sim _{_{G}}\,m$ $g\in G$

G_{m}=gG_{n}g^{-1}.

Antal element i en bana

|Gm|=[G:G_{m}]

, är elementets stabilisator och är index för undergruppen , i fallet med ändliga grupper är det lika med .

G_{m}

m

[G:G_{m}]

G_{m}\delmängd G

{\frac {|G|}{|G_{m}|}}

Banans dimension kan beräknas enligt följande:

\dim |Gm|=\dim |G|-\dim |G_{m}|

, var

$\dim |Gm|$ dimensionen av en individuell bana,

\dim |G_{m}|

dimension av stabilisatorn, dimension av Lie-gruppen.

\dim |G|

Om , då $M=Gm_{1}\sqcup Gm_{2}\sqcup \ldots \sqcup Gm_{k}$

|M|=\summa _{t=1}^{k}[G:G_{m_{t}}]

är expansionsformeln till banor .

Denna formel innebär också följande identiteter:

$\forall m\in M\;\sum _{n\in Gm}|G_{n}|=|G|;$
$\sum _{m\in M}|G_{m}|=k|G|;$
Burnsides lemma .

Exempel på åtgärder

Självåtgärder

Vänster

Handling på dig själv till vänster är det enklaste exemplet på handling. I det här fallet och homomorfismen ges som . $M=G$ $\Phi :G\till S(G)$ $(\Phi (g))(h)=gh$

Höger

Handlingen på sig själv till höger definieras på liknande sätt: . $(\Phi (g))(h)=hg^{-1}$

Vänster och höger

Dessa två handlingar är handlingar av undergrupper av den direkta produkten på med homomorfismen som ges av . $G\ gånger G$ $M=G$ $\Phi :G\ gånger G\ till S(G)$ $(\Phi (g_{1},\;g_{2}))(h)=g_{1}hg_{2}^{-1}$

Konjugationer

Låt och homomorfismen ges som . Dessutom, för varje element sammanfaller stabilisatorn med centralisatorn : $M=G$ $\Phi :G\till S(G)$ $(\Phi (g))(h)=ghg^{-1}$ $h\in G$ $G_{h}$ $C(h)$

G_{h}=\{g\in G\mid ghg^{-1}=h\}=\{g\in G\mid gh=hg\}=C(h).

Till exempel, för ett element från mitten av gruppen (dvs. ) har vi och . $h$ $G$ $h\in Z(G)$ $C(h)=G$ $G_{h}=G$

Variationer och generaliseringar

Förvandla pseudogrupp

Se även

Gruppvy

Litteratur

Vinberg, E. B. Algebrakurs. - 3:e uppl. - M . : Factorial Press Publishing House, 2002. - ISBN 5-88688-0607 . .
Kostrikin, A. I. Introduktion till algebra. Del III. Grundläggande strukturer. - 3:e uppl. - M. : FIZMATLIT, 2004. - 272 sid. - ISBN 5-9221-0489-6 . .