Förvandla pseudogrupp

En pseudogrupp av transformationer av ett jämnt grenrör är en familj av diffeomorfismer av öppna delmängder av ett grenrör i , som är stängd under sammansättningen av mappningar, övergången till en invers mappning, och även begränsningen och limningen av mappningar. $M$ $M$ $M$

Exakt definition

Pseudogruppen av transformationer av en mångfald består av lokala transformationer, det vill säga par av formen , där är en öppen delmängd i , och är en diffeomorfism , och det antas att $\Gamma$ $M$ $p=(D_{p},{\bar {p)))$ $D_{p}$ $M$ ${\barp}$ $D_{p}\to M$

$p,q\in \Gamma \Rightarrow p\circ q=({\bar {q))^{-1}(D_{p}\cap {\bar {q))(D_{q}) ),{\bar {p}}\circ {\bar {q}})\in \Gamma$
$p\in \Gamma \Rightarrow p^{-1}=({\bar {p}}(D_{p}),{\bar {p}}^{-1})\in \Gamma$
$(M,id)\in \Gamma$ ,
om är en diffeomorfism av en öppen delmängd i och , där är öppna delmängder i , då för alla . $sid$ $D$ $M$ $D=\cup _{\alpha }D_{\alpha }$ $D_{\alpha }$ $M$ $(D,p)\in \Gamma \Longleftrightarrow (D_{\alpha },p)\in \Gamma$ $\alfa$

Exempel

En godtycklig smidig aktion av en grupp på ett grenrör.
Låt ett jämnt grenrör och på vilket en grupp agerar smidigt, då är "begränsningen" av handlingen till en godtycklig öppen uppsättning en pseudogrupp av transformationer. Närmare bestämt finns det i pseudogruppen om och . $M$ $G$ $\Omega$ $p=(D_{p},{\bar {p)))$ ${\bar {p}}\in G$ $D_{p},{\bar {p}}(D_{p})\subset \Omega$

Relaterade definitioner

Precis som en transformationsgrupp definierar en transformationspseudogrupp en ekvivalensrelation ; ekvivalensklasserna kallas dess banor . $M$

Typer av pseudogrupper

Pseudogruppen av transformationer av ett grenrör kallas $\Gamma$ $M$

transitiv om är dess enda omloppsbana, $M$
primitiv om det inte finns några icke-triviala släta -invarianta foliationer (annars kallas transformationspseudogruppen imprimitiv ). $M$ $\Gamma$

Variationer och generaliseringar

Genom att modifiera denna definition korrekt kan man definiera en pseudogrupp av transformationer av ett godtyckligt topologiskt utrymme eller till och med en godtycklig uppsättning.

Litteratur

Vinogradov I.M. (red.) - Mathematical Encyclopedia. Volym 4. - M .: Sov. uppslagsverk, 1977 - sid. 730-732.